赵清海， 陈潇凯， 林逸

(北京理工大学 机械与车辆学院，北京电动车辆协同创新中心，北京 100081)



基于有限体积法的稳态热传导结构拓扑优化

赵清海， 陈潇凯， 林逸

(北京理工大学 机械与车辆学院，北京电动车辆协同创新中心，北京 100081)

针对散热结构拓扑优化设计的研究现状，提出一种基于有限体积法的稳态热传导结构的拓扑优化设计，构建两种区域离散策略，即内节点法和外节点法. 借助变密度法拓扑优化理论，建立以散热弱度为目标函数的稳态热传导结构的拓扑优化数学模型，研究在第一、二和三类边界条件下的优化问题. 算例计算结果表明，基于不同区域离散格式外节点法和内节点的拓扑优化设计均能有效改善结构的散热效果，且能获得良好的拓扑优化构型，对微热源的影响也能识别最佳的散热路径.

拓扑优化；热传导；有限体积法；变密度法

结构散热设计广泛存在于电子设备、航空航天、汽车等多个工程领域，通过合理设计结构的拓扑构型，有效改善结构的散热效果，从而保证关键零部件工作的可靠性. 国内外已有相关学者对热传导结构优化问题进行研究[1-7]. Zhuang等[1]针对瞬态热传导问题进行拓扑优化研究，寻求最优的热传导路径. Akihiro等[2]研究热-固耦合物理场作用下，以结构强度和导热系数为约束条件的结构拓扑优化设计问题. 孙士平等[3]针对热弹性连续体拓扑优化存在的中间密度问题，分析了热力耦合场作用下的结构拓扑构型设计.

基于上述工作基础，文中针对基于有限体积法的稳态热传导结构的拓扑优化设计问题，提出两种区域离散策略，即内节点法和外节点法，采用变密度法拓扑优化理论，建立以散热弱度为目标函数的稳态热传导结构的拓扑优化数学模型，研究在第1、2和3类边界条件下的优化问题，最后通过两个算例验证文中模型和方法的有效性.

1 热传导方程数学模型

热传导是典型的热能传递方式，由能量守恒定律和传热问题的Fourier定律，可得瞬态热传导问题的场变量T(x，y，z，t)应满足的守恒型控制方程为

(1)

式中：λ为热传导系数；ρ为材料密度；c为材料比热容；S为结构内部热源强度.

对微分方程的求解，须提供相应的定解条件. 初始条件为

T|t=0=φ(x,y,z).

(2)

边界条件为

(3)

式中：边界ΓD上给定温度函数值；边界ΓN上给定热流密度函数值；n为边界外法线方向；边界ΓR上给定热对流换热函数值；a与Tf分别为换热系数与流体温度.

2 有限体积法

2.1 控制容积的确定

采用互不重迭的子区域对设计区域进行网格划分，此时，确定节点在子区域中的位置有两种方式：外节点法与内节点法. 外节点法如图1(a)所示，节点位于子区域的角顶位置；内节点法如图1(b)所示，节点位于子区域的中心. 节点位置及控制容积模型如图1所示，其中，P、W、E、N、S为节点，界面线所围区域w-e-n-s为节点P的控制容积，即阴影区域，控制容积we、ns之间的距离分别记为Δx、Δy，控制容积体积为ΔV=ΔxΔy. 节点P到W、E、N、S的距离分别为δxWP、δxPE、δxPN、δxSP.

2.2 控制方程离散格式

按照有限体积法的基本思想，对式(1)在控制体积内对其进行积分，借助Green散度定理和中心差分格式，系数归一化处理并整理为矩阵形式，得到

(4)

界面上当量导热系数的确定方法主要有两种：算术平均法与调和平均法. 本例选用基于线性插值的算术平均法，得到

综上所述，建立微分方程组

(5)

式中：K为热传导系数矩阵；T为节点温度列阵；Q为温度载荷列阵.

3 拓扑优化数学模型

3.1 稳态热传导结构拓扑优化模型

基于变密度法模型[4]，建立单元密度与子区域中的导热系数矩阵的对应关系为

(6)

式中：ρe为设计变量，服从0-1分布；P为惩罚因子，一般取值为3；k0为子区域单元的热传导系数矩阵.

以结构散热弱度为目标函数，体积为约束条件，建立稳态热传导结构的拓扑优化模型为

(7)

式中：c为结构散热弱度；ve为单元体积；V0为设计区域体积；f为体积比；N为离散设计区域的子区域单元数；ρmin为单元密度下限值，防止出现总刚度矩阵的奇异，取值为10-3.

文中采用优化准则法更新设计变量，其具有求解速度快，计算规模对设计变量数目的增加不敏感，适用于约束条件不多的优化问题求解.

3.2 子区域导热系数矩阵

优化准则法基于灵敏度信息对设计变量进行更新，求解目标函数c相对于设计变量ρe的敏度为

(8)

因此，子区域导热系数矩阵k0的求解至关重要.

对于外节点法，子区域单元模型如图2所示.

矩形单元中含有4个温度节点，对4个控制容积的界面系数产生影响，假设子区域导热系数为λ. 建立子区域导热系数矩阵为

k0Te=

(9)

对于内节点法，子区域单元模型如图3所示.

因此，子区域导热系数λ对周围4个控制容积产生影响，建立与子区域导热系数λ相关系数矩阵为

式中：

4 算 例

如图4所示平面结构，几何尺寸为120m×120m，离散为120×120个矩形平面单元，边界条件包括为给定恒温边界条件ГD=0 ℃有三处为右边界中间位置、上边界最右端与下边界最右端，以及热流密度边界条件ГN=1W/m在左边界中间位置，其余为绝热边界条件ГR. 整个区域包含两处内热源强度Q=0.1W/m2，位置为左上端与左下端. 为了便于计算，采用热导率λ=1W/(m·K)各向同性材料填充. 且给定体积分数f为0.4. 基于外节点法和内节点法的散热结构拓扑优化结果分别如图5和图6所示. 不同节点设置方式的计算结果包含散热弱度和优化迭代次数列于表1.

类型散热弱度/W优化迭代次数/次外节点法18.6939677内节点法17.5901806

由算例计算结果可知，基于不同区域离散格式外节点法和内节点的拓扑优化设计均能有效改善结构的散热效果，且能获得良好的拓扑优化构型，对微热源的影响也能识别最佳的散热路径，充分表明算法的有效性. 由表1结果可得，对于此类散热结构设计，比较于外节点法，内节点法能获得较优的散热构型，散热弱度降低6%，但收敛速度降低19%.

5 结 论

基于变密度法并结合有限体积理论，实现了稳态热传导连续体结构的拓扑优化设计. 针对有限体积法的计算格式，提出两种区域离散策略，即外节点和内节点法. 建立以散热弱度为目标函数，体积为约束条件的稳态热传导结构的拓扑优化数学模型. 数值算例对不同边界条件下的拓扑优化结果进行对比分析，结果表明：相较于外节点法，内节点法能获得较优的散热构型，但具有较低的收敛速度.

[1] Zhuang C G， Xiong Z H. A global heat compliance measure based topology optimization for the transient heat conduction problem[J]. Numerical Heat Transfer， 2014， 65(5):445-471.

[2] Takezawa A， Yoon G H， Jeong S H， et al. Structural topology optimization with strength and heat conduction constraints[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2014，276:341-361.

[3] 孙士平，张卫红.热弹性结构的拓扑优化设计[J].力学学报，2009，41(6):878-887.

Sun Shiping， Zhang Weihong. Topology optimization design of thermo-elastic structures [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2009， 41(6):878-887. (in Chinese)

[4] Sigmund O. Tailoring materials with prescribed elastic properties [J]. Mechanics of Materials， 1995， 20(4):351-368.

[5] 朱剑峰，龙凯，陈潇凯，等.多工况及动态连续体结构拓扑优化中的工程约束技术[J].北京理工大学学报：自然科学版，2015，35(3):251-255.

Zhu Jianfeng， Long Kai， Chen Xiaokai， et al. Multiple load cases and dynamic continuum structures topology optimization using engineering constraint technique[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2015，35(3):251-255. (in Chinese)

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Wang Wenwei， Li Bangguo， Chen Kaixiao. Multi-objective optimization design of automotive crashworthiness based on collaborative optimization method[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2011(9):1046-1048. (in Chinese)

[7] Chen Xiaokai， Li Bangguo， Lin Yi. Crashworthiness and mass-reduction design of vehicles based on enhanced RSM[C]∥Proceedings of the 5th IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference. Dearborn， Michigan， USA:IEEE, 2009:1755-1758.

(责任编辑：孙竹凤)

Topology Optimization for Steady-State Heat Conduction Structure Based on Finite Volume Method

ZHAO Qing-hai， CHEN Xiao-kai， LIN Yi

(Collaborative Innovation Center of Electric Vehicles in Beijing， School of Mechanical Engineering，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Considering the current status of heat dissipation structure topology optimization design, a topology optimization method was proposed based on finite volume method for the steady-state heat conduction structure design. A strategy was proposed to simulate two typical regional discrete, including the internal and the external node methods. Based on the density approach, a topology optimization mathematics model was developed with the dissipation of heat potential capacity as objective function to deal with optimization problem in three boundary conditions. Results show that, the heat dissipation of the structure can be improved effectively with both the regional discrete optimization design methods, internal and the external node methods. The topology optimization mathematics model can also identify optimal heat dissipation route for tepid influence.

topology optimization; heat conduction; the finite volume method; density approach

2015-05-20

国家自然科学基金资助项目(51275040)

赵清海(1985—)，男，博士生，E-mail:zqhbit@163.com.

陈潇凯(1977—)，男，副教授，E-mail:chenxiaokai@263.net.

TH 122

A

1001-0645(2016)11-1117-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.11.004