马耀辉

摘要：利用数学教材中的习题资源，积极探索习题中的“变式图形”，有效地变换题目条件，积极引导学生不断进行习题创新，得到意想不到的数学创新能力。

关键词：数学习题;变式图形;习题创新;数学创新能力

中图分类号：G633.6 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）027-000-01

课本中的习题都是经过编者的深思熟虑、反复斟酌而精心设计的，研究和运用好教材中的习题变式训练，不但有利于学生思维的提高，而且往往还会收到知一题而通一类的教学效果。笔者在学校“数学兴趣小组”教学辅导过程中，通过充分的利用数学教材中的习题资源，引导学生大胆猜象，有效地变换题目条件，积极探索习题中的“变式图形”，得到了意想不到的数学效果。下面以北师大版九年级（上）联系拓广（P25）中的题目为例，体验课本习题广阔的探索空间和内在的无穷魅力。

题目1：正方形ABCD 的对角线相交于点O，正方形A1B1C1O 与正方形ABCD 的边长相等，在正方形A1B1C1O绕点O旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系？请证明你的结论。

解析：在旋转过程中有△AOE≌△BOF，

所以S四边形OEBF= S△BOE+S△BOF

= S△BOE+S△AOE=S△AOB=1/4S正方形ABCD。

即得到结论：重叠部分的面积为原正方形ABCD面积的四分之一（定值）。

点评：此题如果仅限于上题结论，对学生探索能力的培养意义不大，教师此时应趁学生的探索热情，引导学生进行如下探索：

一、题目变式的探索

（一）题目结论的引伸探索

1.在原题目中，猜想OE与OF有何数量关系，并证明你的猜想。

答：OE=OF.

2.在原题目中，当正方形A1B1C1O绕点O转动到正方形A1B1C1O的边OA1、 OC1与正方形ABCD的边分别交于点E、F，猜想线段BE、BF、AB之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想。

答：BE+BF =AB

3.在原题目中，当正方形A1B1C1O绕点O转动到任意位置时，正方形ABCD的边被正方形 A1B1C1O覆盖部分的总长度与OB又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想不证明。

答：被覆盖部分的总长度BE+BF =OB

评析：

本题形成上述结论的实质是：OA1 、OC1 是经过正方形ABCD 的对称中心且互相垂直的两条直线，正方形的大小以及是否是正方形都是非本质的。只要抓住了问题的本质， 就可以将其改编为若干丰富多彩的新命题。

（二）题目条件的变式探索

若将上述两个正方形的边长相等改变为边长不相等，探索有什么结果？

解析：过O作ON⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为N、M，若正方形ABCD的边长为a，正方形A1B1C1O的边长为b，在旋转过程中易发现当b大于或等于a/2时，上述结论恒成立，当b小于a/2时，图中重叠部分的面积均为b2。

图形变换不仅是一题多变的一种手段，而且作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段，因此在几何教学中，教师不仅要善于引导学生进行“图形变式”的训练，而且还要让学生在自主探索或合作交流中获得探索新知的乐趣。

二、题目变式后的应用

题目1：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC 交于点H，（1）若设正方形ABCD 的边长为3，且旋转角为300时，HB的长为多少。（2）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。（4）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形ABHG）的面积为4/3cm2，求旋转的角度n。

评析：

此题的设计是将题目的旋转点作为正方形的一个顶点，旋转后的图形具备上述探索题目的基本特征。体现了从特殊到一般，从静态到动态的图形变式演变，符合学生的认知规律，能使学生较好地掌握图形“旋转变式”中的变量与不变量，培养了学生思考问题和解决问题的能力。

三、题目探究性学习后的反思

从“题目”情境设置来看，它以学生熟悉的两个边长相等的正方形在某一定点上旋转为载体，让学生在多元化的操作过程中体验数学问题的演变过程，符合学生从特殊到一般，从静态到动态的图形变式认知规律，能使学生较好地掌握“图形旋转变式”中的变量与不变量，深刻感悟数学教学中的思想方法，如果教师在教学过程中能创造性地用好“图形变式”后的这些题目，它不仅具有良好的导向作用，而且对学生的思维及探索精神的培养具有重要的意义。

从“题目”探究性学习方法来看，教师要立足教材，充分利用教材中的习题素材，在学生思维的最近发展区确定教学的起点，把教材上的习题知识点设计成需要学生探索的问题，引导学生进行探索性学习活动，通过教师对“题目”变式训练的“导”，诱发学生对“题目”变式后的“探”，学生才能真正参与到观察、分析、综合、概括等再发现、再创造的思维活动中，才能激发学生的求知欲，从而使学生在探究中获得新知，在探究中发展思维，在探究中提高数学素质。总之，教师对一些典型题目进行变式设计，这即是对学生探索学习方法的引导，也是学生创新能力的一种培养策略。