乌鲁木齐市第一中学(830002)

马仲勋●



多视角看一道解析几何题

乌鲁木齐市第一中学(830002)

马仲勋●

解析几何综合题是高考命题的热点内容之一，这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数，不等式，数列等知识，所涉及的知识点较多，对解题能力层次要求较高.

现从一道2014北京海淀模拟考试解析几何题探讨四种不同角度解决问题.这四种解法中第一种第二种解法通性通法，中规中矩但是运算量大，容易出错；第三第四种解法则整体设计巧妙，大大简化了运算，从而迅速解决问题.

题目 已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(-2,0)的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点.

(2)若△OMP与△OPQ面积相等，求直线l的斜率.

解析 (1)依题意知直线的斜率存在.

因为直线l过点M(-2,0)，所以可设直线l的方程为y=k(x+2).

方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2).因为S△OMP=S△OPQ,所以y2=2y1.

由第一问的直线l：

将①代入x2+y2=1，

方法三 因为△OMP与△OPQ的高均为ON.

所以当两三角形之底相等时，面积相等，即P是MQ中点.设P(x,y)，Q(x1,y1),

因为Q在圆x2+y2=1①上，

所以将Q点坐标代入圆中得：(2x+2)2+(2y)2=1，

化简得：4x2+4y2+8x+3=0 ②.

则Q点既在⊙C上也在圆⊙D上，即Q点为⊙C与⊙D的交点.

方法四 由题意得：圆心为(0,0)，r=1.

过O点作ON⊥PQ于点N，ON为两三角形的高.

设ON为d，直线l：y=kx+2k.

G632

B

1008-0333(2016)31-0010-01