杨谦 魏兵 李林茜 葛德彪 王飞

(1.西安电子科技大学物理与光电工程学院,西安 710071;2.西安电子科技大学信息感知技术协同创新中心,西安 710071)



时域非连续伽辽金法在谐振腔中的应用

杨谦1,2魏兵1,2李林茜1,2葛德彪1,2王飞1,2

(1.西安电子科技大学物理与光电工程学院,西安 710071;2.西安电子科技大学信息感知技术协同创新中心,西安 710071)

给出了时域非连续伽辽金(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)法的基本思想,从Maxwell方程出发得到弱解形式和矩阵方程,进一步给出了DGTD步进计算式.计算了空腔和填充谐振腔的谐振频率,并与解析结果相比较.算例表明在谐振腔计算中DGTD可以达到很高的精度.

非连续伽辽金法;时域有限元;谐振腔

DOI 10.13443/j.cjors 2015111701

引 言

在计算电磁学中,时域方法因其能够直接获得观察点的时域波形、通过简单的傅里叶变换可得到宽频带信息的特点,近年来受到人们的广泛关注.在时域数值算法中,时域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)方法[1]是目前电磁学领域内被人们广泛、深入的研究,并取得巨大成功应用的方法.该方法原理直观、编程简便、实用性强,一直在时域方法中占主导地位.但由于FDTD方法采用规则网格剖分,其建模的能力弱,对弯曲表面的阶梯近似,严重限制了将其应用于复杂几何结构时的计算精度.另外一种时域算法为时域有限元(Finite Ele-ment Time Domain,FETD)方法,该方法采用非结构单元拟合(如四面体),与真实目标的差异小.但FETD每一时间步需要求解大型线性方程组,难以处理电尺寸较大目标的电磁问题.>非连续伽辽金法(Discontinuous Galerkin method)20世纪70年代就应用于偏微分方程的求解[2],该算法思想被应用于流体力学及时域有限体积(Finite Volume Time Domain,FVTD)法中[3].近年来,人们基于FETD和FVTD的思想,提出了非连续伽辽金时域(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)[4-5,9]算法.DGTD既具有有限元方法采用非结构网格对复杂外形拟合好、便于采用高阶基函数和计算精度高的优点,又具有FVTD方法完全显式迭代、计算效率高的优点.在多尺度问题、波导不连续问题等方面广泛的应用前景使得该算法成为近年来计算电磁学界的热点之一.

本文详细描述了基于棱边基函数的三维DGTD方法的基本原理和实现思路,并将该方法应用于空谐振腔和部分填充谐振腔谐振频率的计算.

1 基于棱边基函数的三维DGTD弱解形式及矩阵方程

DGTD可以看作由FETD方法改变边界条件的处理方式得到.FETD是从支配方程和边界条件出发将计算区域划分为多个单元后导出矩阵方程并求解的方法,下面从Maxwell方程组出发描述DGTD的基本思想.

Maxwell旋度方程为

(1)

式中: ε为介电常数; μ为磁导常数; σ为电导率; σm为磁导率; E和Η分别为电场强度矢量和磁场强度矢量; J与Jm分别为电流、磁流.

四面体单元在模拟任意形状的几何体,特别是不规则的几何物体时,比矩形块、六面体等单元更加灵活和准确.采用Galerkin加权法[6],对式(1)在四面体单元内积分,可得

(2)

(3)

(4)

式中:E*、H*称为Numerical Flux,在两个相邻的四面体单元面两侧不相等但依赖于两个相接面的切向场;E、H为待计算单元场值;E+、H+为与待计算单元的相邻单元场值.

将式(3)、(4)代入式(2),得到

E))]ds+σ∫v·EdΩ+∫v·JdΩ=0

H))]ds+σm∫v·HdΩ+∫v·JmdΩ=0.

(5)

四面体中电磁场可用Whitney-I型棱边(矢量)基函数展开为

(6)

此时,未知量变为棱边投影,即四面体表面切向量,这里取实验函数为棱边基函数,并且整个计算域离散为许多小的四面体单元,将式(6)代入式(5)整理后得到适用于全域所有单元计算的矩阵方程:

(7)

2 DGTD步进式

将得到的时域方程在时间域离散可得到时域步进公式,时域步进离散可采取不同方式[8-10],这里采用已经广泛应用于FDTD中的蛙跳法[11].

式(7)为单个四面体迭代方程,在计算中需要循环四面体求解.规定E、Jm在整数时间步采样;H、J在半整数时间步采样,并采用中心差分,此时式(7)可写为迭代式

(8)

将式(8)整理得

(9)

式中系数为:

3 算例

算例1 首先计算金属谐振腔的谐振频率并与解析结果比较以说明本文方法的正确性. 边长为2m金属谐振腔模型如图1(a)所示,设腔内部为真空.计算所得谐振频率数值解与解析解比较如图1(b)和表1所示.图2还给出了TM110模的场分布时域快照.

(a) 谐振腔模型示意图

(b) 谐振频率数值解图1 谐振腔模型和谐振频率

本算例高斯脉冲激励源的频率上限为0.2GHz,若采用时间宽度更窄的高斯脉冲并将模型离散更细密则可进一步提高计算精度.

表1 谐振频率与数值解的相对误差

(a) Ez分布(XOY面)

(b) Hy分布(XOY面)

(c) Ez三维分布图2 TM110模场值分布

算例2 部分填充谐振腔的谐振频率. 谐振腔尺寸同例1,设靠近下底面的部分填充相对介电常数为2的介质,如图3所示.

根据电磁波理论,填充介质前后谐振频率的关系可以用微扰法求得[12],对于TM110模,有

(ω-ω0)/ω0≈-1/2(εr-1)δ/d．

(10)

式中:ω0为扰动前频率;ω为扰动后频率;δ为介质板厚度;d为谐振腔高度;εr为相对介电常数.当εr=1.5,δ=0.2 m时谐振腔TM110模扰动后频率的理论值为0.103 342 821 GHz,而数值解为0.103 342 953 GHz(如图4所示),相对误差0.000 128%,DGTD在此算例中有很好的表现．

图3 谐振腔底部有介质板

图4 TM110模扰动后谐振频率

图5 谐振腔中心为介质球

算例3 本算例将填充物更改为介质球,球半径为0.3m,位于腔体中心,相对介电常数为4,如图5所示．谐振腔边长依然为2m,由于此算例无解析解,图6给出数值解．在前面的算例中DGTD已有很好的表现,可以相信此结果具有很好的精度．

图6 谐振腔(中心为介质球)谐振频率

4 结 论

DGTD在电磁计算中有广泛的应用,本文详细描述了基于棱边基函数的三维DGTD计算步骤,并将其应用于谐振腔算例的计算、算例表明在谐振腔计算中DGTD具有很好的精度,鉴于DGTD具备的优点,此算法在散射、辐射等问题中将有更多的研究．

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杨谦 (1989-),男,陕西人,博士研究生,主要研究方向为计算电磁学.

魏兵 (1970-),男,甘肃人,教授,博士生导师,主要研究方向为电磁理论、复杂系统中的场与波、计算电磁学等.

Analysis of resonant cavity by discontinuous Galerkin time domain method

YANG Qian1,2WEI Bing1,2LI Linqian1,2GE Debiao1,2WANG Fei1,2

(1.SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,Xi’dianUniversity,Xi’an710071,China; 2.CollaborativeInnovationCenterofInformationSensingandUnderstanding,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

In this paper, the principle of discontinuous Galerkin time domain (DGTD) based on vector basis function is described. Weak solutions and matrix formulations from Maxwell equations are given, and the leapfrog equations are presented. The resonant frequencies of the resonator which contains vacuum and a medium plate are calculated respectively by DGTD. The numerical results which are compared with analytical solutions show that the DGTD technique could achieve high accuracy in dealing with resonator problems.

discontinuous Galerkin time domain (DGTD); finite element time domain(FETD); resonant cavity

10.13443/j.cjors.2015111701

2015-11-17

国家自然科学基金(61231003，61401344，61571348)

O441.4

A

1005-0388(2016)04-0707-06

杨谦, 魏兵, 李林茜, 等. 时域非连续伽辽金法在谐振腔中的应用 [J]. 电波科学学报,2016,31(4):707-712.

YANG Q, WEI B, LI L Q, et al. Analysis of resonant cavity by discontinuous Galerkin time domain method [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(4):707-712. (in Chinese). DOI:10.13443/j.cjors.2015111701

联系人： 杨谦 E-mail: zijiangy@126.com