曹生让

(江苏联合职业技术学院南京分院，江苏南京 210019)



高阶耦合Burgers方程的显示精确解

曹生让

(江苏联合职业技术学院南京分院，江苏南京 210019)

本文利用一阶常微分扰动系统，借助于Mathematica的符号运算功能，构造了高阶耦合Burgers方程的显示解，得到了sech2和tanh型的孤子解、周期解、有理解等。

偏微分方程；高阶耦合Burgers方程；显示精确解

近年来，对单个孤立子模型的研究已经相当完善，关于耦合的孤子体系研究，得到了人们的普遍关注并发现了许多新的孤子解.目前，人们已经研究出许多有效的求解方法，例如反散射方法、Hirota双线性法、Backlund变换法、Darbox变换法、Jacobi椭圆函数法、Tanh函数展开法、直接代数法、参数假设法等.但是，利用一些方法得到方程解的类型不能令人满意.本文将用一种新的“扰动”方程统一构造非线性发展方程的显示解.

Burgers方程是模拟冲击波的传播和反射的非线性发展方程，单个Burgers方程ut+uxx+2uux=0是非线性系统中最重要的模型之一.近年来，一些推广的Burgers方程已经被提出，并得到了深入的研究.高阶耦合Burgers方程与单个Burgers方程一样，被广泛地应用在众多物理领域，例如不可压缩非粘性两层流体方面等.本文研究高阶耦合Burgers方程如下：

给出扰动方程

(3)

其中,是ξ的函数，ε=1或ε=-1，(3)式解的具体形式参见文献[1].首先，对方程组(1)和(2)作如下的变换：

其中，ξ=x+λ1y+λ2t，则有：

通过平衡(6)(7)中最高阶导数与非齐次项，可假设(5)(6)具有如下形式的解：

其中，=(ξ)，并且

(10)

(11)

(Ⅰ)当c3=c0=c1=0时，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(Ⅲ)当c3=c1=0时，

(24)

(25)

(26)

(27)

当k→1时，周期解(24)(25)退化为钟状孤立子解，周期解(26)(27)退化扭状孤子解.

(Ⅳ)当c4=c0=c1=0时，

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

综……