李海霞 聂东明

(安徽新华学院公共课教学部安徽合肥230088)

无穷大的比较及应用

李海霞 聂东明

(安徽新华学院公共课教学部安徽合肥230088)

利用无穷大的比较，讨论了无穷大的比较在比较函数大小、计算极限、确定方程的根及判断正项级数收敛性上的应用。

无穷大；无穷大的阶；函数大小；极限；正项级数收敛性

无穷小的比较是极限理论及极限计算的重要工具，是高等数学中一个非常重要的知识点，所以关于无穷小的讨论非常多[1-4]。仿照无穷小的比较，也可以给出无穷大的比较的概念[5]，并且无穷大的比较的应用也非常广泛[6-11]。本文根据常见函数增大快慢速度，即无穷大的阶，探讨无穷大在比较函数大小、极限计算、方程的根及判断正项级数收敛性等方面的应用。

1.无穷大的比较概念

定义1.1[5]设u(x)、v(x)是同一变化过程中的无穷大，且v(x)≠0，在这个变化过程中，

定理1.1[5]当n→∞,1nαn(α＞0),nβ(β＞0),an(a＞1),n!,nn是一个比一个更高阶的无穷大。

将上述自然数n换成变量x，得到。

推论1.2当n→+∞,1nαx(α＞0),xβ(β＞0),ax(a＞1)是一个比一个更高阶的无穷大。

（若α为非整数，可连续使用s次罗比达法则，使得α-s＜0为止，

根据以上定理和推论，介绍无穷大的比较的应用。

2.无穷大的比较在比较函数大小中的应用

利用推论1.2，很容易得到答案为C。而答案解析过程是利用罗比达法则求极限，结合极限的局部保号性得出答案。如比较f(x)和g(x)的大小，根据：

由极限局部保号性，f(x)＜g(x)；同理可得g(x)＜h(x)。

3.无穷大比较在极限计算中的应用

无穷大比较在极限计算中的应用，也有论文谈及[5-10]，但主要是仿照等价无穷小代换，利用等价无穷大代换求极限。……