韩永森， 李忠华， 郑欢， 郭文敏

(哈尔滨理工大学 教育部工程电介质及其应用技术重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150080)



基于多元线性回归的阻性和容性电流分解

韩永森， 李忠华， 郑欢， 郭文敏

(哈尔滨理工大学 教育部工程电介质及其应用技术重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150080)

为了研究交流电压作用下非线性半导体器件和非线性绝缘电介质的绝缘状态和介电性能，提出一种阻性和容性电流分解算法。以非线性电阻和非线性电容构成的并联等效电路为研究对象，推导响应电流关于激励电压的非线性方程。通过坐标变换，将其转化成多元线性方程。利用多元线性回归方法，获得等效电路参数且实现了阻性和容性电流的分解。定性分析该算法的抗干扰能力和对非标准正弦波电压的适应能力。仿真结果表明：该算法可以准确地实现阻性和容性电流的分解；当响应电流含有55 dB的噪声时，电路参数的求解误差较小；激励电压谐波分量对电路参数的求解几乎没有影响。实验结果表明：该算法可以实现MOA阀片在交流电压作用下全泄露电流的分解。

电流分解；非线性等效电路；电路参数估计；多元线性回归

0 引 言

阻性和容性电流的分解是非线性半导体器件和绝缘电介质在交流电压作用下的状态监测和电气性能测试的关键技术环节。

金属氧化物避雷器(MOA)以其优异的非线性特性和良好的浪涌吸收能力已逐渐广泛应用于电力系统的过电压保护中[1-2]。但是，MOA在运行期间会受到各种过电压以及外界环境因素(污浊、潮湿等)的影响而使其电气性能劣化，主要表现在泄漏电流中的阻性电流分量明显增大，同时功率损耗的增加会进一步加剧MOA的老化，甚至会使避雷器损坏[3]。因此，MOA阻性电流分量是MOA状态监测与诊断的重要依据。

MOA阻性电流提取的方法主要有：基波法[4]、容性电流补偿法[5]、三次谐波法[6]、相位比较法[7-8]等。这些方法均是频域分析法，是以标准正弦波激励电压为基本假设条件的。

非线性绝缘电介质系指其介电参数随电场变化而变化的绝缘材料[9]，具有在不均匀电场中自行调控电场分布的特点[10]。应用于电缆终端的电场应力控制片(或管)[11]和高压电机定子线棒端部防电晕结构中的防电晕带[12]就属于非线性绝缘电介质，其在高压直流电缆和套管中也具有潜在的应用前景[13-14]。

采用研究线性绝缘电介质的测试设备(比如，交流高压电桥、阻抗分析仪和介电谱仪等)测量非线性绝缘电介质，测试结果不能真实反映其介电特性[15]。国内学者通过仿真和实验手段研究了不同复合绝缘电介质的直流非线性电导特性[16-18]。国外Obrzut等对非线性绝缘电介质的交流激励电压和响应电流波形进行了测试，并用响应电流的谐波分量表征了非线性绝缘电介质的非线性特性[19]。文献[20]利用非线性最小二乘算法实现了非线性绝缘电介质的阻性电流和容性电流的分解。

交联聚乙烯(XLPE)电力电缆已经成为城市供电网络的主体，为确保城市电网供电安全，电缆水树老化状态的诊断技术备受关注。XLPE电缆水树老化后，由于水分和低分子产物的存在使电缆绝缘表现出场致增强型电导特性，标准正弦波电压作用下其阻性电流将含有谐波分量，因此阻性电流及其谐波的测量[21]已成为XLPE电缆绝缘状态诊断的有效途径之一。

综上所述，准确地实现在交流电压作用下的非线性半导体器件和绝缘电介质的阻性电流和容性电流的分解是研究器件和绝缘电介质的电气性能的关键。本文建立了非线性绝缘电介质的并联等效电路模型，得到了响应电流关于激励电压的时域表达式，利用多元线性回归方法得到了等效电路参数，实现了阻性和容性电流的分解。仿真和实验验证了该方法的可行性和实用性。

1 理论基础

1.1 非线性电路模型

为了实现普遍意义上的阻性电流和容性电流的分解，以非线性绝缘电介质为例进行分析。参照线性绝缘电介质的表示方式，用非线性电导与非线性电容的并联等效电路来描述非线性绝缘介质，如图1所示。其中，u(t)是施加在此介质上的交流激励电压；i(t)是流过此介质的响应电流；iG(t)是流过此介质的阻性电流；iC(t)是流过此介质的容性电流；Gx(u)是此介质的非线性等效电导；Cx(u)是此介质的非线性等效电容，t为时间。

图1 非线性绝缘电介质的并联等效电路Fig.1 Parallel equivalent circuit for nonlinear insulating dielectrics

用电压u(t)的多项式形式来表示非线性电导Gx(u)和非线性电容Cx(u)。考虑到非线性绝缘电介质中不存在整流和滤波过程，电流中只会含有奇次谐波分量，因此多项式中只采用了u(t)的偶次项。

非线性电导Gx(u)与电压u(t)的关系为

(1)

式中，n=0，1，2，…；Gx,2k为Gx(u)对应的第2k个电路参数。

Gx(u)在u(t)作用下产生的阻性电流iG(t)为

(2)

非线性电容Cx(u)与电压u(t)的关系为

(3)

式中，n=0，1，2，…；Cx,2k为Cx(u)对应的第2k个电路参数。

Cx(u)在u(t)作用下产生的容性电流iC(t)为

(4)

响应电流i(t)为

i(t)= iG(t)+iC(t)=

(5)

由此可知，响应电流i(t)是关于交流激励电压u(t)的非线性方程，共包含2n+2个电路参数。

1.2 阻性、容性电流的分解

由式(2)和式(4)可知，上述2n+2个电路参数是实现阻性电流和容性电流分解的关键。这些电路参数通常都是未知的，需要通过求解非线性方程(5)来得到这些参数。然而，非线性方程的求解算法复杂，且收敛结果与初始值的选择有关。为了方便地获得准确的电路参数，本文首先将非线性方程转化成多元线性方程，然后用多元线性回归方法求解上述电路参数。

令

y=i(t)，

(6)

xk=u(t)2k+1，

(7)

bk=Gx,2k。

(8)

式中，k=0，1，…，n。

(9)

bk=Cx,2(k-n-1)。

(10)

式中，k=n+1，n+2，…，2n+1。

根据式(6)～式(10)便可以将非线性方程(5)转化为多元线性方程

(11)

通过实验或仿真可以得到m组观测数据，为

xj,0，xj,1，…，xj,2n+1，yj。

其中：xj,0为自变量x0的第j个观测数据；xj,1为自变量x1的第j个观测数据；…；xj, 2n+1为自变量x2n+1的第j个观测数据；yj为因变量y的第j个观测数据；j=1，2，…，m。

以此m组观测数据和多元线性方程(11)为基础，用多元线性回归方法[22]得到正则方程组，即

(XTX)B=XTY。

(12)

式中，Y=(y1，y2，…，ym)T；B=(b0，b1，…，b2n+1)T；

考虑到方程组求解的稳定性和运算速度，用QR分解法[23]求解此正则方程组，得到回归系数向量B，即电路参数向量。

为了便于分析，在公式(1)和式(3)中采用相同数量的电路参数来描述非线性电导Gx(u)和非线性电容Cx(u)。利用F检验可以对各电路参数bk的显著程度进行定量的判断。对于作用不显著的电路参数bk应舍去，此时F检验满足：

(13)

对于给定的显著水平α，若Fk>F1-α，则认为电路参数bk作用显著。将作用显著的各电路参数代入到公式(2)和式(4)便可以得到阻性电流和容性电流。

1.3 分解算法的抗干扰能力和对非标准正弦波电压的适应能力分析

通过电压互感器、电容分压器或电阻分压器测得的电压u(t)的相对误差通常较小，此测试误差几乎不影响阻性、容性电流的准确分解。但是，由于响应电流i(t)的数量级较小(mA级以下)，在测试过程中响应电流i(t)容易受到外界电磁场的干扰而混有一定信噪比SNR的白噪声。信噪比SNR可按下式计算：

(14)

式中，PS为信号能量；PN为噪声能量。

相对于响应电流i(t)而言，白噪声具有较宽的频率范围(包含响应电流的频率)。当白噪声中与响应电流不相关的频率的振幅远低于响应电流中各频率的振幅时，求解到的电路参数的相对误差较小，对阻性、容性电流的分解准确度的影响也小；当白噪声中与响应电流不相关的频率的振幅接近或高于响应电流中某频率的振幅时，部分电路参数的求解结果的相对误差较大，甚至远远偏离真实值，以至于不能准确地实现阻性、容性电流的分解。

在响应电流i(t)不含噪声的前提下，当激励电压u(t)中含有谐波分量(主要是奇次谐波分量)时，即

(15)

式中：U2k-1为第2k-1次谐波分量的有效值；φ2k-1为第2k-1次谐波分量的初相位；ω为角频率；n1=1，2，…。

对应的多元线性方程为

y+Δy=BT×(x+Δx)。

(16)

式中：y为激励电压的基波单独作用时对应的响应；Δy为激励电压的各次谐波协同作用时对应的响应；x=(x0，x1，…，x2n+1)T为激励电压的基波单独作用时对应的激励；Δx=(Δx0，Δx1，…，Δx2n+1)T为激励电压的各次谐波协同作用时对应的激励。

由公式(16)可知，当u(t)含有谐波分量时，响应y上会叠加Δy而影响到响应电流i(t)的波形。但是，对于给定的非线性绝缘电介质，其对应的电路参数向量B是确定的，即为常系数向量。因此，通过多元线性方程(16)和(11)对应的正则方程组求得的电路参数相同，即u(t)中有无谐波分量不影响阻性、容性电流的准确分解。

2 分解算法的实现

利用Matlab软件编写的程序来实现电路参数的求解和阻性电流与容性电流的分解，图2给出了分解算法实现的程序流程图。

图2 分解算法流程图Fig.2 Flow chart of decomposition algorithm

首先，输入相关的数据和参数，根据相关公式得到矩阵X和向量Y。然后，用QR分解法求解正规方程组(12)，得到电路参数向量B，并用F检验对电路参数bk的显著性进行检验，将作用不显著的电路参数舍去。最后，将作用显著的各电路参数代入式(2)和式(4)就可以得到阻性电流和容性电流。

3 仿真验证

仿真所用的仿真参数为：G0x=4×10-8S，G2x=6×10-15S/V2，G4x=3×10-19S/V4，C0x=1×10-9F，C2x=2×10-17F/V2，C4x=5×10-22F/V4。

3.1 原理性验证

采用的激励电压

u(t)=Umsin(2πft+φ)。

式中：Um=500 V；f=50 Hz；φ=0°。

根据仿真生成的激励电压u(t)和响应电流i(t)，分别在n=2，α=0.05和n=3，α=0.05时用本文算法对响应电流i(t)(如图3所示)进行分解。表1给出了电路参数的计算结果。

图3 响应电流波形Fig.3 Simulation waveform of responding current

电路参数n=2n=3bk显著性bk显著性G0x4.0×10-8*4.0×10-8*G2x6.0×10-15*6.0×10-15*G4x3.0×10-19*3.0×10-19*G6x5.2×10-37C0x1.0×10-9*1.0×10-9*C2x2.0×10-17*2.0×10-17*C4x5.0×10-22*5.0×10-22*C6x4.3×10-38

由表1可知，n=2和n=3时分解得到的电路参数G0x～G4x和C0x～C4x与仿真生成响应电流i(t)时所用到的相应电路参数相同，而且通过显著性检验可以将n=3时分解得到的作用不显著的电路参数G6x和C6x舍去。仿真结果说明：在激励电压u(t)不含谐波分量和响应电流i(t)不含噪声的情况下，本文算法能够对非线性并联等效电路的电路参数进行准确地求解，这为阻性、容性电流的准确分解提供了基础。

将n=2时分解得到的作用显著的各电路参数代入到式(2)和式(4)，得到阻性电流和容性电流波形，如图4所示。

3.2 响应电流含有噪声

在仿真生成的响应电流i(t)上分别叠加了信噪比SNR为55 dB和35 dB的白噪声，且在n=2，α=0.05时用本文算法分别对这两种情况下的i(t)进行分解，所得到的电路参数如表2所示。

图4 分解得到的阻性电流和容性电流波形Fig.4 Resistive current and capacitive current waveforms gotten by decomposing

电路参数55dB35dBbk相对误差/%bk相对误差/%G0x3.996×10-8-0.093.964×10-8-0.90G2x6.292×10-154.873.427×10-15-42.89G4x2.997×10-19-0.093.231×10-197.69C0x1.000×10-90.011.001×10-90.05C2x1.841×10-17-7.931.704×10-17-14.83C4x4.686×10-22-6.285.757×10-2215.14

由表2可以得出，当噪声的信噪比为55 dB时，所得到的电路参数的相对误差较小；而当噪声的信噪比为35 dB时，电路参数的相对误差较大，特别地，G2x的相对误差已经达到-42.89%。结果表明：当噪声有较大的信噪比时，比如55 dB，该算法能较准确地实现阻性、容性电流的分解。

3.3 激励电压含有谐波分量

考虑到实际电网中谐波分量主要为奇次，且7次以上的高次谐波含量占总谐波比例较小，这里仅对激励电压u(t)含有不同比例的谐波分量(7次及以下奇次谐波成分)的情况进行讨论。

此时，

其中，U2k-1为第2k-1次谐波分量的有效值；ω=100π(rad/s)；k=1，2，3，4。

在n=2，α=0.05时，用本文算法对激励电压含有谐波分量时产生的响应电流进行分解。表3列出了相关参数的计算结果。

表3 激励电压分别含不同比例的奇次谐波时相关参数的计算结果

通过表3可以看出，电路参数的相对误差几乎均为0%，这说明含有谐波分量的激励电压u(t)对电路参数的准确求解几乎没有影响。因此，在非标准正弦交流激励电压下，该算法也能够准确地实现阻性和容性电流的分解。

4 实验验证

为了清晰说明本文算法的合理性与实用价值，将市售的MOA阀片切片成厚度为5 mm，直径为42 mm的试样。首先，对该试样的直流伏安特性进行了测试，得到其电流密度J与电场强度E的关系曲线，如图5所示。

图5 电流密度与电场强度关系曲线Fig.5 Curve of current density against electric field strength

由图5可知，该试样的J-E特性曲线具有典型的非线性特性，因此采用该试样作为本文实验验证的测试对象。

用文献[15]所建立的非线性绝缘电介质交流测试系统，对该试样的交流激励电压u(t)和响应电流i(t)的时域波形进行了测试，测试结果见图6。测试条件为：室温；标准正弦波激励电压，幅值为1 300 V，频率为50 Hz；平板三电极系统。

图6 激励电压和响应电流的实测波形Fig.6 Test waveforms of excitation voltage and responding current

用本文算法在n≥3的情况下对此实测的响应电流i(t)进行分解时，由于矩阵XTX近似于奇异矩阵，所得到的分解结果会不准确。为了得到准确的分解结果，用本文算法在n=2，α=0.05时对实测的响应电流i(t)进行了分解，得到的电路参数见表4。图7给出了响应电流的拟合曲线和测试曲线对比结果。

表4 电路参数的计算结果

图7 响应电流回归曲线和测试曲线Fig.7 Regression and measurement waveforms of responding current

由表4可以发现，这些电路参数的作用均显著。通过图7中响应电流的拟合曲线和测试曲线的对比，可以得知该算法能够实现MOA阀片在交流电压作用下的响应电流的分解。利用该算法能够同时得到MOA阀片的阻性和容性电流波形，如图8所示。结合试样的几何尺寸，可以得到图9所示的阻性电流密度与电场强度以及容性电流密度与电场强度导数的关系曲线。

图8 阻性和容性电流波形Fig.8 Resistive and capacitive current waveforms

由图5和图9(a)的对比可知，在相同电场强度下，交流电压下的阻性电流密度要比直流电压下的大两个数量级，这是由于MOA阀片中晶界处的界面极化[24]使得交流电导率较大的缘故。通过图9(a)还可以发现，当电场强度足够高时阻性电流密度jG会表现出非线性。

由图9(b)可知，在交流电压作用下，当电场强度导数足够大时容性电流密度jC也会表现出非线性。因此，可以用本文算法得到的阻性、容性电流密度来研究MOA阀片在交流电压作用下的非线性特性。

图9 阻性电流密度与电场强度以及容性电流密度与电场强度导数关系曲线Fig.9 Curves of resistive current density vs electrical field strength and capacitive current density vs electrical field strength derivative

5 结 论

通过对非线性绝缘电介质并联等效电路的分析，以并联等效电路参数为基础推导了响应电流关于激励电压的关系式，提出了一种基于多元线性回归的阻性电流和容性电流分解方法。理论分析表明：该方法的原理简单，易于实现，得到的阻性电流和容性电流中包含丰富的频域信息，具有时域和频域相结合的特点。仿真结果表明：该方法不仅可以准确的实现阻性、容性电流的分解，还可以得到非线性电路参数，其受较大信噪比噪声的影响较小但几乎不受激励电压谐波分量的影响。实验结果表明：该方法可以实现MOA阀片在交流电压作用下的响应电流分解，同时发现其阻性、容性电流密度会表现出非线性特性，该方法具有潜在的实用价值。

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(编辑：刘素菊)

Decomposition method of resistive current and capacitive current based on multiple linear regression

HAN Yong-sen， LI Zhong-hua， ZHENG Huan， GUO Wen-min

(Key Laboratory of Engineering Dielectrics and Its Application, Ministry of Education, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

To study the insulation status and dielectric performance of nonlinear semiconductor equipment and nonlinear insulating dielectrics under AC voltage, a new decomposition method of resistive and capacitive current was proposed. Nonlinear parallel equivalent circuit which consists of nonlinear resistance and nonlinear capacitance was chosen as the research object. The nonlinear expression of responding current on excitation voltage was deduced and then was transformed to multiple linear expression with coordinate transformation. The equivalent circuit parameters were got and the decomposition of the resistive and capacitive currents was achieved using multiple linear regression. The anti-interference performance and the adaptability to the nonstandard sinusoidal voltage were analyzed qualitatively. The simulation results show that the proposed method can decompose the resistive and capacitive current accurately. The relative errors of circuit parameters are smaller when the signal to noise ratio of noise is 55 dB.The harmonics of excitation voltage have little effect on the solution of circuit parameters. The experimental results indicate that this method can decompose the total leakage current for MOA varistor under AC voltage.

current decomposition；nonlinear equivalent circuit；circuit parameters estimation；multiple linear regression

2013-08-07

国家重点基础研究发展计划项目(973计划)(2014CB239504)

韩永森(1985—)，男，博士研究生，研究方向为非线性电介质介电特性测试；

李忠华(1962—)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为非线性绝缘电介质基础理论和测试技术；

李忠华

10.15938/j.emc.2016.11.008

TM 85

A

1007-449X(2016)11-0053-08

郑 欢(1981—)，男，博士，副教授，研究方向电气绝缘监测与诊断技术；

郭文敏(1977—)，女，博士，副教授，研究方向为非线性绝缘电介质基础理论。