戴宇晴, 叶学民, 李春曦

(电站设备状态监测与控制教育部重点实验室(华北电力大学)，河北保定071003)



电场作用下表面张力对液滴运动特征的影响

戴宇晴, 叶学民, 李春曦

(电站设备状态监测与控制教育部重点实验室(华北电力大学)，河北保定071003)

为研究电场作用下表面张力对液滴运动特征的影响，基于润滑理论和漏介电质模型，在考虑受电场影响的表面张力变化的基础上，建立了电场作用下液滴铺展的演化模型，采用PEDCOL程序模拟了在不同底部电势影响下导电液滴的运动特征。研究表明：两极板间的液滴铺展过程不仅与电势类型有关，还与因电场作用下改变的表面张力有关；表面张力比例系数对液滴运动过程的影响总趋势大体相同，但最大液膜厚度和铺展半径的变化速率明显不同。施加均匀电势和线性电势时，并不改变液滴铺展的抛物线外形，随比例系数增大，液滴铺展加快；施加非线性电势时，可控制液滴的破裂过程；液滴铺展过程中，受表面张力变化影响最大的是线性电势，最小的为指数电势。

电场；表面张力；液滴

0 引言

微流控技术广泛应用于微电子、生物工程和纳米技术领域[1-3]，液滴运动与控制[4-6]是其中极为重要的方面，而表面张力是影响、甚至是控制微纳尺寸下液滴铺展与变形运动的关键因素。在电场作用下，电介质液体所含带电粒子在界面处的聚集或排斥作用在宏观上改变了液滴表面张力，进而影响微液滴的运动、变形、分裂及聚并[7-9]等行为。因此，深入研究电场作用下表面张力对液滴铺展运动特征的影响具有重要意义。

Schmid等[10]通过观察漂浮于气水交界面上的云母片，受到静电场作用时产生的运动距离变化研究了电场对表面张力的影响，发现当电场强度为6.7 kV/cm时，NaCl溶液的表面张力降低；但Damm[11]对Schmid所得结果提出质疑，认为NaCl溶液表面张力的改变应归因于电极附近的杂散电场(Stray field)。Hayes[12]采用波纹方法测量了平行电极板间气液界面处表面张力，认为在实验误差范围内，场强达10.4 kV/cm的电场对纯水和10% NaCl溶液的表面张力并无明显影响，但因实验不确定性较大，结论可信度有限；另外，Hayes基于热力学理论，推断液体表面和内部的压差致使表面张力增大，并与电场强度平方成比例。目前，采用实验直接测量表面张力研究电场对溶液表面张力的影响，限于实验精度和实验设计等原因，所得结论尚不统一。

相对采用实验直接测量电场对表面张力的影响[10-12]，间接测量方法中取得许多积极成果，并涌现出多种新的测量方法。基于液滴重量法，Watanabe等[13]测量了水油界面张力，发现增大电场强度可降低表面张力，而改变电场极性并不影响表面张力。类似地，Morimoto和Saheki[14]测量了真空中油滴的表面张力，指出油滴质量随电场强度增大而减小，并给出表面张力与电荷间的关系；他们认为电场力和表面电荷是促使表面张力降低的原因。Sato等[15]采用振荡射流法，向平行电极板中喷射液滴进而测量了表面张力变化，通过对多种液体的比较发现，除液体自身物理性质外，外加电场对其表面张力也有影响，当电导率>10-2S/m时，表面张力与电压平方成反比[16]，并推测液体表面存在的表面电荷是表面张力降低的原因。上述实验结果均表明气液界面上的表面张力随电场强度增大而减小。然而，采用轴对称液滴形状分析法的Bateni等[17]则得到与Sato等[15]相反的结果，认为电场促使液滴表面张力增大。而对于外加电场对表面张力影响的理论研究报道较少。Liggieri等[18]通过理论分析，认为静电场中表面无自由电荷时液体表面张力的变化与受磁场作用时相似，场强较小时的影响极小，只有电场场强极大时才能在实验中检测到表面张力变化。

上述研究表明，电场强度对表面张力的影响大致分为表面张力随电场强度提高而减小、增大和不变等三种情形。而目前对于受电场作用时的液滴运动的理论研究中，均假设表面张力不受电场影响，即表面张力不变，进而模拟其运动特征[19]；这显然与上述多数实验所得结论明显不符，也不能准确反映电场对液滴运动的影响。为此，本文基于实验研究结果，建立表面张力与电场强度间的关系式，推导电场作用下描述液滴运动过程的演化方程，采用数值模拟获得不同电场情形下的液滴运动行为，进而分析因电场作用带来的表面张力变化对液滴运动特征的影响。

图1 平整基底上液滴的铺展示意图

1 理论模型

如图1，液滴置于两极板间，在下极板上预置一层厚度为Hb*的液膜。铺展前沿xf和铺展半径xd是描述液滴铺展过程的重要参数。假设液滴为常物性的不可压缩牛顿流体，壁面为无滑移无渗透界面。液滴初始高度H*与流动方向尺度L*相比非常小(上标“*”代表有量纲量)，即∈=H*L*<<1，润滑理论[19，20]适用。

控制方程组为

(1)

(2)

式中：u*=(u*，w*)为速度矢量；p*为压强。

界面电荷密度q*方程[22]为

(3)

在固体壁面处，满足无滑移、无渗透条件

(4)

气液界面上，满足法向和切向应力平衡方程

(5)

(6)

式中：n*和t*为单位法向和切向矢量；λ*为界面平均曲率；γ*为表面张力；T*为总应力张量，其表达式为

(7)

式中：I*为单位张量。

为考虑电场强度对表面张力的影响，根据实验结果[12-17]，表面张力可近似表示为

式中：d*、e*为与电场强度有关的系数。

依据润滑理论[19，20]、保留数量级为≥O(∈)的项，可得无量纲化控制方程组

(8)

(9)

(10)

无量纲边界条件如下:

(1)固体壁面处满足无滑移、无渗透边界条件

z=0，u2=w2=0

(11)

z=b，u1=w1=0

(12)

z=h，uz=0

(13)

(2)气液界面处切向和法向应力平衡条件为

(3)气液界面处运动边界条件为

z=h，ht+ushx=ws

(16)

结合式(11)～(16)，通过积分运算可得液膜厚度和界面电荷密度的演化方程组

(17)

(18)

采用PEDCOL程序求解演化方程式(17)和式(18)。选取-15

初始条件为：

(19)

(20)

式中：F*为海氏阶跃函数；其中，若无特殊说明，预置液膜厚度Hb=0.1。

程序中的边界条件为

(21)

(22)

2 数值模拟

2.1 线性电势

对液滴施加Φ=1+Sx的底部电势，S=0表示均匀电场的影响，S=1和-1时则表示沿x方向为线性增加或减小的线性电场影响。

图2为α=0.5，S=0，即底部电势Φ=1时在t=0.1、1、10和50时的液滴铺展特征。该图表明，随铺展过程发展，最大液膜厚度逐渐减小，但液滴中心位置在x=0处保持不变，液滴向两侧呈对称铺展；这是因为底部电势关于坐标轴左右对称，液滴所受电场力大小相等且左右对称所致。

图2 S=0时液滴厚度演化历程

图3给出了t=20时，不同α下的液滴外形。该图表明，与α=1时对比可知，当α<1、并进一步减小α时，液滴呈现回缩特征，与文献[15]所反映的结果一致；当α>1，并进一步提高α时，呈铺展特征，这与文献[17]所反映的现象一致。总体上，随系数α增大，液滴速度加快，所覆盖的面积进一步扩大。

图3 S=0时比例系数对液膜厚度影响

图4为比例系数α对液滴运动主要特征参数的影响。图4(a)表明，铺展前期，液滴中心处的最大液膜厚度hmax减小速度较快，而在后期减小速度趋于平缓；随α增大，其减小速率进一步加大，即当α=0.5增至1.5时，hmax的减小速率由t-0.1155增至t-0.1269；在同一时刻下，随α增大hmax减小，满足hmax～α-0.1417，如图4(b)。比例系数α增大，铺展半径xd也随α增大而增长，当α=0.5增至1.5时，xd的增长率由t0.1401提高至t0.1617，如图4(c)；铺展半径xd与比例系数α的关系为xd～α0.1913，如图4(d)。

图4 S=0时比例系数的影响

线性电势Φ=1+x与Φ=1-x相比，液滴铺展仅方向相反，为此只讨论Φ=1+x情形。图5表明，随时间t增加，液滴虽保持抛物线形状铺展，但向左侧平移；且最大液膜厚度hmax先减小后增大，其原因是随时间增长，电荷密度增大较多，较大的电场力将两侧流体引向液滴中心区域。

图5 S=1时的液滴铺展演化历程

因液滴两侧电场力不平衡，使液滴中心随时间逐渐向左侧偏移；随时间增大，液膜最大厚度所在位置xmax偏移速率逐渐减小；而当α增大时，xmax略有提高，即α对xmax的影响非常有限，总体表现为xmax～t0.5010，如图6所示。

图6 xhmax随时间变化曲线

如图7(a)所示，比例系数α对最大液膜厚度hmax的影响，总体上与均匀电势情形类似，但不同的是铺展后期，线性电势下的hmax呈现缓慢增加的趋势；随比例系数α由0.5增至1.5时，hmax的减小速率由t-0.0361增至t-0.0459；t=10时，hmax随α增大而减小，hmax～α-0.1525，如图7(b)；在线性电势作用下，液滴运动初期xd增长率较大，而在中后期其增长率则减缓，当α=0.5增至1.5时，xd的增长率由t0.0942提高至t0.1068，如图7(c)；铺展半径xd随α的变化为xd～α0.1848，如图7(d)。

2.2 非线性电势

当两极板间施加余弦电势Φ=Acos(kx)时，其中幅值A=1，波数k=1，液滴铺展过程如图8。随时间延长，液滴仍向两侧对称铺展，铺展初期hmax减小较快，当t>20时，铺展中心出现凹陷，铺展前沿呈现与底部电势变化趋势一致的波状形态。当α较小时，中心凹陷出现时间较迟，电场对表面张力的降低，降低了液滴铺展的速度。

如图9(a)显示，hmax仍呈现单调下降趋势，且铺展初期降低速率较大，α的变化并不改变hmax的总体变化趋势，当α=0.5增至1.5时，hmax的减小速率由t-0.1454减小至t-1401；图9(b)为t=10时hmax随α的变化关系，hmax～α-0.0929；当α=0.5增至1.5时，xd的增长率由t0.1553提高至t0.1568，如图9(c)；铺展半径xd随α的变化为xd～α0.1607，如图9(d)。

图7 S=1时不同比例系数的影响

图8 余弦形式电势时液滴的演化历程

图9 余弦形式电势时不同比例系数的影响

图10 指数形式电势时的液滴演化历程

施加指数形式Φ=1+e-x2/2电势，α=0.5时的铺展过程如图10所示。在该情形下，液滴始终保持对称、向两侧铺展，随t增加，hmax迅速减小，液滴由最初抛物线外形，逐渐破裂为左右两对称的子液滴、并向两侧分离。即通过施加合适的指数形式电势时，可控制液滴的破裂过程。

图11 指数形式电势时不同比例系数的影响

图11(a)表明，施加指数形式电势时，hmax在铺展后期基本不变，尤其是当α较小时，此时液滴中心出现凹陷、后逐渐分成两个液滴，液滴受电场的影响向两侧移动，此时hmax为两子液滴的中心高度；α=0.5增至1.5时，hmax的减小速率由t-0.1701增至t-0.1745；hmax与α的关系为hmax～α-0.0602，如图11(b)；当α=0.5增至1.5时，xd的增长率由t0.1995降至t0.1961，如图11(c)；铺展半径xd随α的变化为xd～α0.1482，如图11(d)，表明提高α可加快液滴的破裂过程。

2.3 不同电势下比例系数对特征参数的影响

图12比较了t=10时最大液膜厚度hmax和铺展半径xd与比例系数α在不同电势下的变化。对于均匀电势为Φ=1时，hmax～α-0.1417、xd～α0.1913；当液滴处于线性电势Φ=1+Sx作用时，hmax～α-0.1525、xd～α0.1848；在指数电势Φ=1+e-x2/2作用下，hmax～α-0.0602、xd～α0.1482和，当处于非线性的余弦电势Φ=Acos(kx)时，则有hmax～α-0.0929、xd～α0.1607。在本文讨论的4种类型电势中，受表面张力变化影响最大的是线性电势为Φ=1+x时，受影响最小的为指数电势Φ=1+e-x2/2。

图12 不同电势下比例系数对hmax和xd的影响

3 结论

(1)两极板间的液滴铺展过程与不同类型电势的作用密切相关，因电场作用改变的表面张力对液滴运动过程的影响总趋势大体相同，但最大液膜厚度hmax和铺展半径xd的变化速率明显不同。施加均匀电势和线性电势时，均不改变液滴铺展的抛物线外形，但当表面张力受到电场影响而变化时，随比例系数α增大，施加均匀电势时，最大液膜厚度hmax减小，铺展半径xd增大，液滴铺展进程加快；施加线性电势时最大液膜厚度hmax先减小后略有增大，铺展半径xd增大。上述情况产生原因可归结于，表面张力的变化改变了液滴表面电荷分布，对液滴铺展造成的影响。

(2)施加非线性电势Φ=Acos(kx)和Φ=1+e-x2/2时，随比例系数α增大，最大液膜厚度hmax减小，铺展半径xd增大外，液膜中心出现的凹坑时间也随之变长，延缓铺展进程，减小破断的可能性；而且通过施加合适的指数形式电势时，可控制液滴的破裂过程。对于文中讨论的4种类型电势，提高电场强度，液滴铺展过程中hmax与xd相对于表面张力不受电场影响时所产生的变化量增大。液滴运动过程，受表面张力变化影响最大的是线性电势，最小的为指数电势。

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Effect of Surface Tension on Droplet Dynamics in the Presence of Electric Field

DAI Yuqing, YE Xuemin, LI Chunxi

(Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, Baoding 071003, China)

To analyze the effect of surface tension on droplet dynamics in the presence of electric field, an evolution model considering the surface tension variation induced by electric field was established based on leaky dielectric model and the lubrication theory.The PEDCOL code was utilized to simulate the dynamic characteristics of a conductive droplet in the presence of diverse electric fields.Results show that the droplet movement between two electrode plates is not only related to the potential type, but also influenced by the variation of the surface tension induced by electric field.The influence of the proportion coefficient of surface tension on the droplet movement process is approximately same while the maximum thickness of liquid film and spreading radius variation rates are obviously different.Exerting uniform and linear electric potential does not alter the parabolic shape of spreading droplet.With the increase of the proportion coefficient, the droplet spreading is accelerated.Rupture process of a droplet can be controlled by applying nonlinear electric potential.The greatest impact of the variation of surface tension on the process of a droplet spreading is linear potential, and the least impact is exponential potential.

electric field; surface tension; droplet

2016-07-14。

国家自然科学基金(11202079)；河北省自然科学基金(A2015502058)。

戴宇晴(1990-)，女，硕士研究生，主要从事流体力学理论及应用等方面的研究工作，E-mail： paozou@163.com。

O361；TQ021

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.11.012