张夏苇

(厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

悲观的多覆盖模糊粗糙集

张夏苇

(厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

在乐观的多覆盖模糊粗糙集的基础上,建立了悲观的多覆盖模糊粗糙集模型.分别讨论了悲观多覆盖模糊粗糙集、基于交的覆盖模糊粗糙集、覆盖模糊粗糙集和乐观多覆盖模糊粗糙集之间的关系.该模型的建立和得到的诸多性质丰富了粗糙集理论.

模糊粗糙集;悲观;多覆盖

粗糙集理论首先是由波兰数学家Pawlak[1]引入的,是一种处理不确定信息和数据非常有效的工具和方法.Pawlak粗糙集是由定义在论域上的一个划分(等价关系)来定义的,这一要求在很多情形下却成了Pawlak粗糙集进一步发展和应用的一个“短板”.于是Zakowski[2]对Pawlak粗糙集进行了推广,引入论域上的一个覆盖的定义,提出了覆盖粗糙集模型.从另一个角度来看,因为Pawlak粗糙集是由一个等价关系定义的,从而Pawlak粗糙集是单粒化的.于是钱宇华等[3-4]又提出了乐观的多粒化粗糙集和悲观的多粒化粗糙集2种模型.后来很多学者都对多粒化粗糙集进行了深入的讨论[5-11].接着在覆盖粗糙集和多粒化粗糙集的基础上,人们又研究了多覆盖的粗糙集模型[12-13].

另一方面,模糊集理论也是一种处理模糊和不确定信息的有效工具.于是,人们便把粗糙集理论和模糊集理论结合起来研究,提出了各种模糊的粗糙集模型.例如,Xu等[14]研究了多粒化的模糊粗糙集的有关性质.Kong等[15]也建立了覆盖模糊粗糙集模型,得到了许多深刻的结论.此外,Liu等[16]还研究了乐观多覆盖模糊粗糙集模型.但是至今悲观多覆盖模糊粗糙集模型还没有建立和研究,因此本研究在文献[16]的基础上,提出了悲观的多覆盖模糊粗糙集模型,并讨论了有关性质,得到了一些有意义的结论.

1 预备知识

定义1[17]设U是一个论域,C是U的一个覆盖,称序对(U,C)为一个覆盖近似空间.对任意x∈U,称为x的最小描述.“∧”表示取最小值.

定义2[18]设(U,C)为一个覆盖近似空间,对X⊆U,则分别称

为X的覆盖下近似和上近似.

在文献[18]中,可以得到X的覆盖下近似和上近似有如下性质:

定义3[16]设C是U的一个覆盖且K∈C,如果K是C-{K}中某些元素的并,则称K是覆盖C的可去元素.本文中把覆盖C中所有的可去元素都剔除后剩下的覆盖称为C的一个约简,记为reduct(C).

定义4[19]设C1,C2是U的两个覆盖,若对任意的K1∈reduct(C1)都存在K2∈reduct(C2)使得K1⊆K2,则称C1比C2细,记作C1≺C2.

定义5[19]设C1={K11,K12,…,K1m1,},C2= {K21,K22,…,K2m2,}是U的两个覆盖,则定义这两个覆盖的交为

在本文中,F(U)表示所有定义在U上的模糊集的全体.

定义6[19]设(U,C)为一个覆盖近似空间,对X∈F(U),则分别称

为X的覆盖模糊下近似和上近似.这里“∨”表示取最大值.

定义7[19]设U是一个论域,Ω={C1,C2,…, Cm}是U的一个覆盖族,称序对(U,Ω)为一个多覆盖近似空间.

定义8[16]设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则分别称

为X的乐观多覆盖模糊下近似和上近似.

为此,在定义8的基础上也可以定义悲观的多覆盖模糊下近似和上近似:

定义9 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则分别称

为X的悲观多覆盖模糊的下近似和上近似.

2 主要结果

定理1 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则有下列性质成立

证明 由定义9显然可得.

但是对悲观的多覆盖模糊粗糙集而言,如下性质

一般却并不成立.下面举例说明.

例1 设论域U={x1,x2,x3,x4,x5},C1= {{x1,x2},{x2,x3,x4},{x5}},C2={{x1,x2,x3, x4},{x3,x4,x5}},则有

对模糊集X={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5},有

设C1,C2,…,Cm是U的m个覆盖,根据定义5, m个覆盖的交仍然是U的一个覆盖.于是对任意模糊集X,可以定义基于覆盖的覆盖模糊粗糙集.那么悲观的多覆盖模糊粗糙集和基于覆盖的覆盖模糊粗糙集有何关系呢?首先,不妨举个例子对此做一个初步的说明.

从而,可得

因此,由例2有如下结论:

定理2 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则有下列性质成立

证明 1)为了论述方便,只对m=2的情形给于证明.

设C1,C2是U的两个覆盖,对任意x∈U,把C1, C2中所有包含x的元素的集合分别记为

从而有

2)仿1)的证明可得.

悲观的多覆盖模糊粗糙集是由m个覆盖C1,C2,…,Cm定义的,为研究由m个覆盖C1,C2,…,Cm所定义的悲观的多覆盖模糊粗糙集与m个覆盖C1,C2,…, Cm中任一个覆盖Ci,i=1,2,…,m所定义的覆盖模糊粗糙集的关系,本研究通过一个例子来做一个初步的探讨.

例3 设U={x1,x2,x3,x4,x5},C1={{x1, x2},{x2,x3},{x2,x3,x4,x5},{x3,x4,x5},{x5}}, C2={{x1,x2,x3},{x1,x2,x3,x4},{x3,x4,x5}},对X={0.5,0.4,0.3,0.2,0.1},有

同样,对Y={0.5,0.6,0.7,0.8,0.9},也有

因此,由例3有如下结论:

定理3 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm}.对任意的Ci,i=1,2,…,m和任意X∈F(U),下列性质成立:

证明 由定义6和定义9显然可证.

注1 在文献[9]中,我们知道若C1,C2,…,Cm满足条件:C1≺C2≺…≺Cm,则有等式成立:另一方面,在例3中发现尽管C1≺C2,但是

下面回答由C1,C2,…,Cm定义的悲观的多覆盖模糊粗糙集和由reduct(C1),reduct(C2),…, reduct(Cm)定义悲观的多覆盖模糊粗糙集的关系.于是有下面的结论.

定理4 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则有下列性质成立:

证明 因为对任意x∈U,覆盖C和其约简reduct(C)生成的md(x)是相同的,于是由定义9显然可证.

最后,根据定义8和定义9,可得乐观的多覆盖模糊粗糙集和悲观的多覆盖模糊粗糙集的如下关系.

定理5 设(U,Ω)为一个多覆盖近似空间,其中Ω={C1,C2,…,Cm},对X∈F(U),则有下列性质成立

3 结 论

探讨各种广义粗糙集模型的性质是当前粗糙集理论研究的一个热点问题.本研究则在文献[9]的基础上建立了悲观的多覆盖模糊粗糙集模型,并对该模型的有关性质进行了探讨,得到了一些有意义的结果.

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Pessimistic Multi-covering Fuzzy Rough Sets

ZHANG Xiawei

(School of Appliced Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

In this article,based on the optimistic multi-covering fuzzy rough sets,the model of pessimistic multi-covering fuzzy rough sets is developed.Furthermore,relationships among optimistic multi-covering fuzzy rough sets,covering fuzzy rough sets based on intersection,covering fuzzy rough sets and pessimistic multi-covering fuzzy rough sets have been studied.All of these results enrich the fuzzy rough set theory.

fuzzy rough sets;pessimistic;multi-covering

O 22

A

0438-0479(2016)06-0918-04

10.6043/j.issn.0438-0479.201603032

2016-03-21 录用日期:2016-09-20

国家自然科学基金(61472463,61402064);福建省科技计划项目(JA15281,JAT160369)

xiawzhang@163.com

张夏苇.悲观的多覆盖模糊粗糙集[J].厦门大学学报(自然科学版),2016,55(6):918-921.

ZHANG X W.Pessimistic multi-covering fuzzy rough sets[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55 (6):918-921.(in Chinese)