朱烈强 贺 志

（湖南文理学院物理与电子科学学院，湖南 常德 415000）

利用偶极-偶极相互作用来控制开放量子系统中的非马尔科夫性研究

朱烈强 贺 志

（湖南文理学院物理与电子科学学院，湖南 常德 415000）

文章给出了一个新的方案即利用辅助的偶极-偶极相互作用来控制一个开放两能级系统中的非马尔科夫性。首先分析求解了一个增加偶极-偶极相互用项的衰减J-C（Jaynes-Cummings）模型并获得了相应的解。接着，具体讨论了增加的偶极-偶极相互用对开放两能级系统中的非马尔科夫性的影响。研究发现：通过调节偶极-偶极相互用强度，开放两能级系统中的非马尔科夫性将会产生显著的变化。这将为在量子信息处理中主动控制开放系统中非马尔科的研究提供一定的借鉴意义。

开放两能级系统；非马尔科夫性；偶极-偶极相互作用

1 引言

在量子信息处理中，一个开放的量子系统经历的动力学演化按照不同的性质可以划分为马尔科夫和非马尔科夫过程[1]。马尔科夫过程指的是外界环境没有记忆效应，系统的信息或能量单方向流入的环境中；而非马尔科夫过程表示外界环境有记忆效应，系统流入到环境中的信息或能量可以一部分回流给系统，系统的相干性能得到有效的保护。近来，已有研究表明[2]非马尔科夫过程中从环境流回到系统的信息或能量可以用非马尔科夫性来表征。非马尔科夫性可以从不同的角度来定义，其中用的较多且比较流行的非马尔科夫性度量是通过迹距离[2]来定义的。由迹距离定义的非马尔科夫性有一个很好的物理解释，即一个马尔科夫过程只能降低两个量子态的区分性；相反地，两个量子态的区分性的增加就表示非马尔科夫过程发生了。对于研究开放系统中的非马尔科夫性，一般常考虑一个两能级系统同一个零温度热库相互作用模型。因为这个模型能得到其精确解，所以在量子信息处理中被广泛地研究。 过去针对非马尔科夫性的研究主要是被动去理解或解释存在模型中非马尔科夫性，但真正去主动控制开放系统中的非马尔科夫性却很少。本文提出了一种新的方案来主动控制一个开放两能级系统中的非马尔科夫性。具体来说，在著名的衰减的J-C(Jaynes-Cummings)模型[1]的基础上，通过增加另一个辅助的两能级系统来控制衰减的 J-C模型的非马尔科夫性。研究表明：通过调节偶极-偶极相互用强度，开放两能级系统中的非马尔科夫性将会产生显著的变化。这将为在量子信息处理中主动控制开放系统中非马尔科的研究提供一定的借鉴意义。

2 理论模型及其解

著名的衰减的 J-C模型指的是一个两能级系统同一个零温度热库相互作用模型，人们对这个模型中的非马尔科夫性作了详细的研究[3-6]。这里，在衰减的J-C模型的基础上，通过引入另一个两能级系统来研究其非马尔科夫性。本文建议改良了的衰减J-C模型可用图1来表示：

图1　改良了的衰减J-C模型图

图1对应的哈密顿量可以表示成

注意，0H表示两个两能级系统和热库自由的哈密顿量，HI表示一个两能级系统同热库相互作用的哈密顿量，以及两个两能级系统系统之间通过偶极-偶极相互作用的哈密顿量，ωa表示两个两能级系统系统的本征频率，ωk表示热库中第k个模式的频率， gk表示一个两能级系统同热库第k个模式相互作用的耦合常数，Ω表示两个两能级系统系统之间偶极-偶极相互作用强度，分别两能级原子的的跃迁算符，和 bk分别表示热库中第k个模式的上升和下降算符。

在相互作用绘景中，经过一些代数运算，可得到相互作用中的哈密顿量为

如果文中只考虑整个系统（包括两个两能级原子和热库）中激发数等于 1的情况，那么整个系统的波函数可以唯象的写成下列的形式，

这里，下指标1和2分别代表原子1和2， r表示热库。

根据在相互作用绘景中的薛定谔方程[7]

可获得波函数方程（3）中的系数满足下列耦合方程：

利用初始条件Dk(0)=0，积分方程（7）并代入到方程（5），可得到 B( t)满足下列方程

其中记忆核由

接着，对方程（6）和方程（8）作拉谱拉斯变换，可以得到B( p)的表达式为（已假设C(0)=0）

原则上，通过对方程（10）执行逆拉普拉斯变换，就可得到B( t)的表示式如B( t)=B(0)μ(t)，但由于μ( t)太过复杂，所以文中只给出其数值结果。然而，有兴趣的是，在一些特殊的情况下可获得 μ(t)明显的数学表达式如下：

（i）当热库环境是完全没有记忆效应的，即λ→∞，此时μ(t)的数学表达式能写成

（ii）当在方程（10）中令0Ω=，此时可得到 ()tμ的熟悉的表达式

其中A(0)和B(0)由原子1初始态给出。到现在，研究原子1的非马尔科夫动力都由方程（13）决定。

3 基于迹距离的非马尔科夫度量

在2009年 Breuer等[2]首次提出了一种刻画开放量子系统中的非马尔科夫性的度量如下：

这个迹距离D(ρ1, ρ2)是反映量子态 ρ1和ρ2的可区分度，它被定义为[8]

明显地，在方程（14）中涉及到一个最大化的问题，要处理这个最大化问题，一般说来是一个比较棘手的事情。幸运的是，在笔者以前的一个工作[9]中，对于共振情况给出了最优化的初态如：Ω这样有了方程（13）和（14），就能讨论文中提出的模型中的非马尔科夫性了。

4 分析与讨论

在下面的图2中，具体描绘了迹距离D(ρ1(t),ρ2(t))随时间的演化关系（如图2（a））以及非马尔科夫性N随偶级-偶级相互作用强度Ω的变化关系（如图2（b））。

首先，由于从方程（14）可知：如果D(ρ1(t ),ρ2(t))随时间的变化是单调递减的关系，那么系统将表现为马尔科夫动力学过程；相反地，如果D(ρ1(t),ρ2(t))随时间的变化是呈现非单调递减的关系，那么系统将表现为非马尔

图2　改良了的衰减J-C模型中迹距离　D　(ρ　1　(t ),ρ2(t))随时间标度γ0t的演化关系如(a)以及非马尔科夫性N随偶级-偶级相互作用强度Ω的变化关系如(b)

图2科夫动力学过程。从图2（a）可以明显地看到：无论偶级-偶级相互作用强度Ω是强还是弱，迹距离D(ρ1(t),ρ2(t))随时间的变化关系总是呈现非单调的关系（对于弱的偶级-偶级相互作用强度Ω＝0.1也有类似现象（看内嵌图））。这就表明：只要有原子2的偶级-偶级相互作用的加入，考虑的系统原子1将总会表现为非马尔科夫过程。更进一步，从图2（b）中可以获知，随着偶级-偶级相互作用强度Ω的增强，原子 1表现出的非马尔科夫性N就更强。这是一个非常值得注意的现象。为了体现偶级-偶级相互作用的引入在改变系统的非马尔科夫过程的作用，笔者也画了没有偶级-偶级相互作用时，著名的的衰减J-C模型中的迹距离D(ρ1(t ),ρ2(t))随标度γ0t的演化关系和非马尔科夫性N随参数λ的变化关系（如图3显示）。

图3　著名的衰减J-C模型中迹距离　D(　ρ　1　(t),ρ2(t))随时间标度γ0t的演化关系如(a)以及非马尔科夫性N随参数 γ0的变化关系如(b)

明显地，从图3（a）可以看到，原子1的迹距离D(ρ1(t),ρ2(t))随时间的变化关系是否呈单调递减的关系取决于在不同的参数机制。例如当λ=10γ0即满足方程方程（12）中的马尔科夫过程发生的条件γ0＜λ2，所以，迹距离D(ρ1(t ),ρ2(t))随时间呈单调递减的关系；相反地，当λ=0.1γ0即满足方程方程（12）中的非马尔科夫过程发生的条件γ0＞λ2，所以，迹距离D(ρ1(t ),ρ2(t))随时间呈非单调递减的关系。进一步，非马尔科夫性 N随参数 γ0的变化关系也佐证了上述的结果：即当γ0＜λ2时，N消失；当γ0＞λ2时，N就表现为非零且随 γ0呈单调增加的关系。

所以，比较图2和图3，可得到本文的主要结果：当引入了偶级-偶级相互作用时，考虑的系统原子1将总会表现出非马尔科夫效应，这有利于量子相干性的保持；而没有偶级-偶级相互作用时，考虑的系统原子 1是否表现出非马尔科夫效应取决于不同的参数选择。

5 结论

总之，本文提出了一种新的方案来主动控制开放系统中的非马尔科夫效应。 首先我们分析求解了方案对应模型并给出了相应的解。 进一步，具体讨论了增加的偶极-偶极相互用对开放两能级系统中的非马尔科夫性的影响。研究发现：只要有偶极-偶极相互用的加入，开放两能级系统中的非马尔科夫效应总是会存在。 这将为在量子信息处理中主动控制开放系统中非马尔科夫效应的研究提供一定的借鉴意义。

[1] Breuer H P and Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems[M].Oxford:Oxford University Press,2002.

[2] Breuer H P, Laine E M and Piilo J. Measure for the Degree of Non-Markovian Behavior of Quantum Processes in Open Systems[J].Phys. Rev. Lett,2009,103(21):210401.

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[5] Li J G, Zou J and Shao B, Non-Markovianity of the damped Jaynes-Cummings model with detuning[J].Phys.Rev.A, 2010,81(6):062124.

[6] Zeng H S, Tang N, Y P Zheng and Wang G Y. Equivalence of the measures of non-Markovianity for open two-level systems[J].Phys. Rev. A,2011,84(3):032118.

[7] 钱诚德.高等量子力学[M].上海:上海交通大学出版社,1998.

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Controlling non-Markovianity of open quantum system with addition of dipole-dipole interaction

We present a new scheme for controlling non-Markovianity of an open two level system with addition of dipole-dipole interaction. First we analytically solve the modified-damped Jaynes-Cummings model and obtain its solutions. Then, we concretely discuss the influence of the adding dipole-dipole interaction on non-Markovianity of an open two-level system. By investigation, we find that non-Markovianity of the open two level system can be obviously changed by adjusting the dipole-dipole interaction strength. It is helpful to control the non-Markovianity of quntum information processing.

Open two level systems; non-Markovianity, dipole-dipole interaction

O469

A

1008-1151(2016)09-0023-03

2016-08-13

湖南省光电信息技术虚拟仿真实验教学中心项目；湖南省光电信息技术校企联合人才培养基地项目。

朱烈强（1994－），男，湖南文理学院物理与电子科学学院学生，研究方向为量子信息。