范世祥

正四面体是中学数学立体几何中最经典的几何体之一，以此为载体的试题屡见不鲜。本文针对正四面体进行研究性学习，研究的内容和方法对立体几何的学习有启发和迁移作用。

一、正三角形的研究

正四面体的每个面都是正三角形，根据空间问题平面化思想，为了更好地研究正四面体，我们先从正三角形开始说起。

问题1 已知正三角形的边长为a，分别计算它的高、面积、外接圆的半径以及内切圆的半径。

解析 如图1，结合解三角形知识，容易求出以下四个参数的值：

（1）高h=a；

（2）面积S=a；

（3）外接圆的半径R=a；

（4）内切圆的半径r=a。

评注 正三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）合一，统称为正三角形的中心，且中心O是每条高线（中线、角平分线）的一个三等分点。希望同学们能熟记这四个参数的值，对今后的解题会大有帮助。

二、正四面体的研究

问题2 已知正四面体的棱长为a，分别计算它的表面积、高、体积、外接球的半径、内切球的半径、相对棱的距离与夹角、侧棱与底面所成角的余弦值、相邻侧面所成二面角的余弦值。

解析 如图2，正四面体P-ABC，设点P在平面ABC内的射影为H，可知点H为等边三角形ABC的中心，连接PH，由问题1可知，HA=a，HE=a。

（1）正四面体的表面积等于4个全等的等边三角形的面积之和，故S=4×a=a。

（2）在Rt△PHA中，PH==a。

（3）下面用两种方法计算正四面体的体积。

方法一：V=S·PH=×a×a=a；

方法二：将正四面体放入正方体中（如图3），此时正四面体的棱长就是正方体的面对角线的长，所以正方体的棱长为a，而正四面体的体积就是正方体的体积减去四个等大的三棱锥，