□韩春见

三角形角平分线的应用

□韩春见

三角形的角平分线是三角形中的一条重要线段，要全面学好三角形的相关知识，需对三角形的角平分线给予足够的关注.

一、直接用角平分线分得的两个角相等

例1（1）如图1，点D是△A B C中∠A B C和∠A C B两个内角平分线的交点，求证：∠D＝90°＋

图1

图2

（2）如图2，点D是△A B C中∠A B C和∠A C B两个外角平分线的交点，试猜想∠D与∠A的数量关系，并证明你的结论.

（2）为结论开放问题，沿着（1）的思路：先表示∠D和∠A，再借助条件B D和C D为∠A B C和∠A C B两个外角平分线，易猜想到结论为∠D＝ 90°－

解：（1）∵点D是△A B C中∠A B C和∠A C B两个内角平分线的交点，

在△B C D中，

∠D＝180°－（∠D B C＋∠D C B），

在△A B C中，

∠A B C＋∠A C B＝180°－∠A，

证明略.

点评：（1）本题主要就是运用了角平分线分得的两个小角等于原两大角的一半.（2）本题的第2小问是结论开放问题，准确猜想出结论是解决问题的关键.

二、利用三线合一

例2已知：如图3，P是∠A O B平分线上的一点，P C⊥O A，P D⊥O B，垂足分别为C、D.求证：

（1）O C＝O D.

（2）O P是C D的垂直平分线.

图3

分析：该题涉及角平分线和线段的垂直平分线，这两者之间有较为紧密的联系.在该题中，可利用这两者之间的关系为解题创造条件.

证明：（1）由条件可知，

∠P C O＝∠P D O＝90°，

∠C O P＝∠D O P，O P＝O P，

故△P O C≌△P O D.

所以O C＝O D.

（2）由（1）知△P O C≌△P O D，

所以C P＝D P.

由定理“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，可知点P在线段C D的垂直平分线上，

又∵O C＝O D，同理可知点O也在线段C D的垂直平分线上，

故O P是C D的垂直平分线.

引申：如图3，C、D是射线O A、O B上的两点.若O P是线段C D的垂直平分线，

求证：O P是∠A O B的角平分线.

证明：∵O P是线段C D的垂直平分线，

∴O C＝O D，

∴由等腰三角形三线合一，可知O P是∠A O B的角平分线.

点评：例2是利用O P是∠A O B的角平分线这一条件，证……