安徽省宿州二中　凤　斌　　叶　菊

抽象函数常见问题剖析

安徽省宿州二中凤斌叶菊

抽象函数通常是指这样一类函数，我们并没有被告知函数的具体解析式，只知道其他一些条件（如定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是初等数学与高等数学的一个衔接点。因无具体解析式，理解、研究起来往往很抽象。现在我们梳理一下抽象函数的常考题型。

一、抽象函数的定义域问题

1.已知f（x）的定义域，求f［g（x）］的定义域

其解法是：若f（x）的定义域为a≤x≤b，则在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，从中解得x的取值范围即为f［g（x）］的定义域。

例1已知函数f（x）的定义域为［-1，5］，求f（3x-5）的定义域。

解析因为f（x）的定义域为［-1，5］，所以-1≤3x-5≤5，

方法总结此类型试题的本质就是解不等式。

2.已知f［g（x）］的定义域，求f（x）的定义域

其解法是：若f［g（x）］的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g（x）的取值范围即为f（x）的定义域。

例2已知函数f（x2-2x+2）的定义域为［0，3］，求函数f（x）的定义域。

解析由0≤x≤3，得1≤x2-2x+2≤5。

令u=x2-2x+2，则f（x2-2x+2）=f（u），1≤u≤5。

故f（x）的定义域为［1，5］。

方法总结此类型试题的本质就是求函数的值域。

二、抽象函数的求值问题

例3已知f（x）的定义域为R*，且f（x+y）=f（x）+f（y）对一切正实数x、y都成立，若f（8）=4，则f（2）=______ _。

解析方法一：赋值法

令x=y=4，得f（8）=f（4）+f（4），

因为f（8）=4，所以f（4）=2。

令x=y=2，得f（4）=f（2）+f（2），

因为f（4）=2，所以f（2）=1。

方法总结通过观察已知量与未知量的联系，巧妙地进行赋值，把已知条件与欲求的函数值联系起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

方法二：特殊函数法［设f（x）=kx（k≠0）］

易知f（x）=kx（k≠0）满足题设条件，

所以f（2）=1。

方法总结我们可以找满足题设条件的一个具体函数作为函数模型来解这一类的选择、填空题。但是满足题设条件的函数不一定只有这个具体函数，所以这种方法只能帮助我们迅速求得答案，不能作为解答题的解答过程。

下面是常见的函数模型及其性质：

初等函数模型函数性质正比例函数f（x）=kx（k≠0）　f（x+y）=f（x）+f（y）一次函数模型f（x）=kx+b（k≠0）　f（x+y）+b=f（x）+f（y）幂函数f（x）=xa　f（xy）=f（x）f（y）指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）　f（x+y）=f（x）f（y）对数函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）　f（xy）=f（x）+f（y）正切函数f（x）=tanx　f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y ）

三、抽象函数与不等式问题

例4定义在［-1，1］上的奇函数f（x）是增函数，且f（x-1）+f（1-x2）＜0，求x的取值范围。

解析因为f（x-1）+f（1-x2）＜0，

所以f（x-1）＜-f（1-x2），

因为f（x）为定义域上的奇函数，

所以上式可变形为f（x-1）＜f（x2-1），

因为f（x）为定义在［-1，1］上的增函数，

所以-1≤x-1＜x2-1≤1，

方法总结利用f（x）的奇偶性将已知条件转化为f［g（x）］＞f［h（x）］的形式，再利用f（x）的单调性得到关于x的不等式，求出x的范围。

四、抽象函数的奇偶性问题

例5已知f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）对一切实数x、y都成立，且f（0）≠0，求证：f（x）为偶函数。

解析令x=y=0，则2f（0）=2［f（0）］2，

因为f（0）≠0，所以f（0）=1。

令x=0，则f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），

因为f（0）=1，所以f（-y）=f（y），

所以f（x）为偶函数。

方法总结通过赋值，得出f（-x）与f（x）的关系，从而判断出函数的奇偶性。

五、抽象函数的综合问题

例6函数f（x）对任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0。

（1）判断函数f（x）的奇偶性。

（2）求证：f（x）在R上是减函数。

（3）若f（1）=-2，求f（x）在［-3，3］上的最大值和最小值。

解析（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；

再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），则f（-x）=-f（x），

又因为定义域R关于原点对称，所以f（x）为奇函数。

（2）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，依题意有f（x2-x1）＜0，

f（x2）-f（x1）=f［x1+（x2-x1）］-f（x1）=f（x1）+f（x2-x1）-f（x1）=f（x2-x1）＜0，

即f（x2）＜f（x1），故f（x）在R上单调递减。

（3）由（2）知函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）在［-3，3］上单调递减，

所以f（x）min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6；

又因为f（x）在R上是奇函数，

所以f（x）max=f（-3）=-f（3）=6。

综上所述，f（x）在［-3，3］上的最大值为6，最小值为-6。

例7已知函数f（x）为定义在（0，+∞）上的函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时f（x）＞0。

（1）求f（1）的值。

（2）求证f（x）在定义域上是增函数。

（3）若f（2）=1，解不等式f（x）-f（x-2）＜3。

解析（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0。

（2）任取0＜x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=

因0＜x1＜x2，所以＞1，所以，

所以f（x2）-f（x1）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数。

（3）由f（2）=1得f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，

f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，

故f（x）-f（x-2）＜3⇔f（x）＜f（x-2）+f（8）=f（8x-16）。