何 娟

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)



对偶体积差Lp-Brunn-Minkowski不等式

何 娟

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

介绍了对偶体积差和均质积分差的概念，讨论了它们的对偶Lp-Brunn-Minkowski型理论，其中一个结论表明，对于两个相互扩张的星体，特别地，当它们中挖掉两个任意的星体后，Lp-Brunn-Minkowski不等式仍然成立.

星体；凸体；对偶体积差；对偶Lp-Brunn-Minkowski不等式；对偶均质积分差

设K,L是Rn里的凸体(有非空内点的紧凸集).设V表示体积，+p表示p-和.经典的Lp-Brunn-Minkowski不等式[1]表示如下:

等号成立当且仅当K和L互为伸缩的.

等号成立当且仅当K和L互为伸缩的.

在2010年，吕松军建立了对偶体积差的Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式[2].

定理1 假设K，L和D是Rn里的星体，并且D⊇K，D′⊇L，D′是D的一个扩张，则:

等号成立当且仅当K和L是相互扩张的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′))，其中c是一个常数.

其中ρK(θ)是K的径向函数，定义为ρK(θ)=max{λ≥0:λθ∈K},θ∈Sn-1.并且dθ是B的表面积元素，Rn里的标准单位球.

定理2 假设K，L和D是Rn里的星体，并且D⊇K，D′⊇L，D′是D的一个扩张,则:

等号成立的条件当且仅当K和L是相互扩张的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′))，其中c是一个常数.

文献[2]的第一个结果(定理1)表明了两个相互伸缩的星体，其中挖去两个任意的星体，对偶体积差Brunn-Minkowski不等式成立.本文将用分析的方法来建立对偶体积差的Lp-Brunn-Minkowski不等式，下面是主要结果.

定理3 假设M，K和L是Rn里的星体，并且K⊆M，L⊆M′，M′是M的一个扩张，则:

等号成立当且仅当K和L是相互扩张的并且(V(M),V(K))=c(V(M′),V(L))，其中c是一个常数.

其中ρk(θ)是K的径向函数，定义为ρk(θ)=max{λ≥0:λθ∈K}，θ∈Sn-1.

两个星体的对偶体积差Lp-Minkowski不等式能表示为定理4[4]：

定理4 假设M，K和L是Rn里的星体，并且K⊆M，L⊆M′，M′是M的一个扩张，则:

等号成立当且仅……