刘冰， 易泰河， 申镇， 易东云

国防科学技术大学 理学院， 长沙 410072

基于搜索空间变换和序优化的预警星座设计

刘冰， 易泰河， 申镇， 易东云*

国防科学技术大学 理学院， 长沙 410072

高轨预警星座由若干颗地球静止轨道卫星和大椭圆轨道卫星组成，星座优化的目标是满足重点监视区域的覆盖和提高覆盖区域的定位精度。对于覆盖性优化，根据多个监视区域的威胁等级，星座系统需要提供不同的覆盖重数；对于定位精度优化，系统在立体观测和单星观测情况下存在很大差异。因此高轨预警星座优化是一个复杂多区域多目标优化问题。针对以上难点，提出了多层次多目标优化模型，可以较完整合理地描述预警星座优化问题；在优化模型求解方面，将优化计算分为覆盖性优化和定位精度优化两个环节；在覆盖性优化环节，提出了基于搜索空间变换的覆盖性快速优化方法，提高了Pareto最优解的计算速度和准确性。在定位精度优化环节，采用序优化方法进一步缩短优化时间。仿真试验表明，该方法可设计出满足预警任务需求的星座，且优化耗时在1 min以内，能有效地缩短预警星座优化时间。

卫星； 星座； 区域覆盖； 多目标； 优化

预警卫星通过探测导弹尾焰的红外辐射信号来测量导弹目标相对卫星的方向，再以卫星为空间基准点，通过卫星到目标的角度观测量来解算目标的位置和速度。为达到对全球导弹发射区域覆盖的目的，可通过若干颗地球静止轨道预警卫星和大椭圆轨道预警卫星的组网实现[1-3]。预警星座优化的目标是在满足对多个监视区域覆盖性要求的情况下提高对监视区域的定位精度。其中涉及两个难点：① 不同监视区域对覆盖重数有不同的需求，是一个多区域覆盖优化问题，随着监视区域数目的增加，优化问题求解耗时长，容易陷入局部最优解，目前没有通用的求解方法；② 多重覆盖区域和单重覆盖区域定位精度的描述不同，前者可采用位置精度因子(Position Dilution of Precision, PDOP)[4]进行描述，而后者是不完备观测，理论上无法进行立体定位，无法计算PDOP。但是在实际应用中，依靠弹道模板，单星观测可以提供一定精度的导弹定位信息[5-7]，所以在星座优化中也需要将单重覆盖区域的定位性能作为优化的目标之一加以考虑。

目前对预警星座的研究主要集中于给定星座构型下的性能分析和双卫星对单区域的星座优化问题。胡磊等[8]对美国GEO(Geostationary Orbit)预警卫星覆盖性能进行了分析；毛艺帆等[9]对美国天基红外系统SBIRS-HEO(Space-based Infrared System Highly Elliptical Orbit)卫星预警能力进行了分析；阎志伟[10-11]和钟宇[12]等研究了GEO双星对单个区域观测的部署问题；张雅声和姚勇[13]给出了一种基于大量仿真试验和人工分析的异构预警卫星星座设计方案。从已有的研究成果来看，面向导弹预警任务的星座优化算法研究还处于起步阶段。

现有的星座优化多是基于覆盖性的星座设计和面向导航的星座设计。对基于覆盖的星座优化研究，Walker法和覆盖带法可以得到很好的结果，但对于区域覆盖问题，由于其多样性和灵活性，尚无比较通用的方法[10]。王瑞等[14]采用遗传算法研究了对单个区域覆盖星座的优化问题，而对于多区域覆盖星座优化问题的研究很少，仅见Matossian[15]研究了椭圆轨道星座对多个区域的通讯覆盖优化问题；对基于定位精度的星座优化，主要是以导航星座作为研究背景，通常采用PDOP作为定位精度指标[16-17]。然而预警星座观测条件下存在大量单重覆盖区域，在这些区域内，PDOP无法解算，所以对预警星座目标定位精度的描述更为复杂。从而看到，预警星座的任务需求和工作模式有其独特性，无法直接利用已有的星座优化方法进行求解。

此外，在预警星座概念设计阶段，系统的使用者对重点区域的设定可能存在不确定性，所以希望根据监视区域的不同设定得到不同的优化结果，在反复的迭代中进行论证。而星座优化计算量巨大，一次优化往往需要几个小时的时间，这就延长了星座设计论证的周期。因此需要一种快速优化计算方法，能够在给定优化目标后近实时地输出优化结果。目前对于快速优化方法的研究，一种思路是采用并行计算模式，如Ferringer 等[18]采用了并行式进化算法；另一种是根据具体问题，采用快速优化策略或解析计算模型。如崔红正和韩潮[19]采用序优化方法提高了导航星座的优化速度；韩潮等[20]提出了改进的网格点仿真法，以解析方式求解卫星覆盖时刻集，从而大大降低了优化耗时。

本文针对导弹预警星座优化问题中存在的难点展开研究。主要的创新点有两点：① 在优化问题建模方面，提出了面向导弹预警任务的多层次多目标优化模型；② 在优化模型的求解方面，设计了基于搜索空间变换的覆盖性快速优化方法，将连续型的搜索空间缩减为规模小得多的离散空间，便于Pareto最优解集的求解，并结合序优化方法对问题进行了准确快速的求解。

1 预警星座轨道参数设计

合理的轨道优化参数设计和约束条件建模可以简化优化问题，提高优化效率。本节通过对GEO轨道和HEO轨道特性的分析，设计了预警星座轨道优化参数，并根据覆盖区域约束条件缩小了搜索空间。

1.1 GEO轨道

本文采用地心地固系作为参考坐标系。GEO卫星的坐标可由卫星所在的赤道经度表示，即

(xGEO,yGEO,zGEO)=(acosL,asinL,0)

(1)

式中：a为GEO轨道半径；L为卫星所在的赤道经度。由于GEO卫星相对地面保持静止，所以根据几何关系可以确定地面某点可见GEO卫星的部署范围。如图 1所示，将地面站可见的视锥投射于同步卫星轨道高度的球壳，得到投影边界，若卫星处于边界内，则卫星相对地面站可见。赤道投影落入边界曲线内的部分为GEO对地面站可见的弧段。

图1 地面某点对GEO卫星的可见性区间 Fig.1 Ground point’s observable interval for GEO satellite

设地面一点p的GEO可见弧段为[Ll(p),Lr(p)]，则可覆盖区域Si的GEO部署弧段为

(2)

式中：Si为某个区域的采样点集合。对于由N颗GEO卫星组成的子星座，轨道参数可用N维向量L=[L1L2…LN]表示，其中Lk(k=1,2,…,N)表示第k颗GEO卫星的经度。由M个关注区域对GEO子星座轨道参数的约束为

(3)

1.2 HEO轨道

本文中HEO子星座采用Molniya轨道类型，它是一种大偏心率、轨道倾角为63.4° 的椭圆轨道。近地点位于大气层之外，以便避免大气阻力。远地点通过适当的选择使得当地球自转一周时，卫星恰好在轨道运行两周。在地球摄动的影响下，卫星轨道参数随时间变化，但通过将轨道倾角设置为63.4°，轨道半长轴和偏心率的适当设置，使Molniya轨道半长轴、轨道倾角、偏心率和近地点俯角几乎不受摄动影响，而升交点赤经在摄动作用下随时间线性漂移。由于近地点俯角不变，远地点固定在确定的纬度上。

Trishchenko和Garand[21]提出一种由两颗运行于不同轨道平面Molniya轨道的卫星构成的HEO星座。其参数设置为升交点赤经相差90°，平近点角相差180°。这样它们的星下点轨迹重合，当一颗卫星位于远地点时，另一颗恰好位于近地点，从而实现对高纬区域的连续覆盖。考虑到该构型的优良性能和简化问题，可采用这种星座构型作为HEO子星座的构型。即轨道参数满足

图2 Molniya轨道星下点轨迹Fig.2 Subastral track of Molniya orbit

(4)

式中：各变量符号的上角标表示对应的Molniya轨道。对于该星座，只要给定其中一个Molniya轨道参数即可确定另一个Molniya轨道的参数。在地固系下，HEO双星交替出现于两个在经度上相隔180° 的远地点，如图3所示。

区域CA对远地点1、2均可见，是24 h连续覆盖区域，而区域IA为间歇覆盖区域。图 4为仿真计算的HEO双星系统对全球的覆盖结果。深红色区域为HEO星座连续覆盖区域，其在经度上有两个向南延伸的区域，而这两区域的顶点位置由HEO卫星的远地点经度决定。通过简单的几何分析可知，这两个尖峰顶点和卫星远地点经度相差90°。

图3 Molniya星座覆盖示意图Fig.3 Coverage of Molniya constellation

图4 Molniya 星座覆盖分布图Fig.4 Coverage distribution of Molniya constellation

将连续覆盖范围最南端的边界线在纬度经度坐标系下的曲线方程称为全覆盖曲线。设全覆盖曲线为B=g(L,La)(具体的解析形式可通过简单几何推导得出，在此文中略去)，La为HEO卫星的远地点星下点经度，l为任意的经度数值；(B,L)为全覆盖曲线上点的纬度和经度坐标。该曲线具有如下的性质：

g(L,La-l)=g(L+l,La)

(5)

即全覆盖曲线跟随HEO卫星远地点经度平移。令l=La，得

g(L,0)=g(L+La,La)

(6)

La∈WHEO(Si)={La|B≥g(L,La),

∀(B,L)∈Si}

(7)

式中：WHEO为HEO卫星远地点经度部署范围。综合1.1节的内容，一个由N颗GEO卫星和Molniya双星构成的混合星座系统，其优化的参数为

(8)

(9)

综合1.1节和1.2节对GEO和HEO轨道参数以及基于重点关注区域对轨道参数约束的讨论，GEO和HEO轨道参数约束条件缩减为

(10)

2 预警星座性能指标

2.1 覆盖性能指标

定义覆盖性能指标为星座对各关注区域的最小连续覆盖重数，如式(11)所示。

(11)

(12)

其中：

(13)

2.2 定位精度指标

预警卫星通过探测导弹尾焰的红外辐射信号来测量导弹目标相对卫星的方向，再以卫星为空间基准点，通过卫星到目标的角度观测量来解算目标的位置和速度。本文中角度测量量定义为地固系下目标相对于卫星的方位角A和俯仰角E，测量方程为

(14)

(15)

定义预警系统位置精度因子为

(16)

式中：σlos为测量噪声标准差；Hi为第i颗卫星的测量矩阵；tr(·)表示矩阵的迹。PDOP反映了多星视线交汇定位的精度。

对于单星观测，由于HTH奇异，所以无法计算，系统属于不可观测系统。但根据红外传感器的工作波段和大气的透射率，可给出导弹首次被探测高程的一个范围。将这个先验高程作为约束，在一定程度上可以改善观测性。即在观测方程式(14)中补充伪观测方程式(17)。

(17)

式中：Re(B,L)为参考椭球体球心到发射点地面的距离；halt为目标高程，虽然是未知的，但一般可根据经验给予约束。将式(17)与式(14)联立，作为观测方程组，计算测量方程的Jacobian矩阵得

(18)

定义单星伪几何精度因子PDOP′为

(19)

式中：

其中：σalt为先验高程标准差，可以表示先验高程的不确定程度。将PDOP′作为单星定位精度优劣性的度量。将各重点区域的平均PDOP定义为定位精度指标，即

(20)

(21)

3 多策略融合星座优化

将覆盖性指标和定位精度指标作为优化目标。本节首先介绍了预警星座的多目标优化模型，给出了多策略融合求解模型的框架，将星座优化分为覆盖优化和定位精度优化两个环节；然后介绍了覆盖性优化环节中的搜索空间变换策略，该策略可以大幅缩小搜索空间，提高Pareto解的求解效率；最后介绍序优化方法，将该方法用于定位精度优化环节，进一步缩短优化耗时。

3.1 预警星座的多目标优化设计

结合式(11)和式(20)，将预警星座优化定义为如式(22)的多目标优化问题(Multiple Objectives Problem, MOP)[22]

(22)

MOP的解并不局限于单个解，而可能有多个解，求解MOP首先计算其Pareto最优解集，然后在其中挑选符合设计者偏好的解。Pareto最优的相关定义如下[23]：

定义1(Pareto支配)设x1和x2为多目标优化问题的两个可行解，解x1支配x2当且仅当fi(x1)≤fi(x2)(∀i=1,2,…,m)∧fj(x1)

定义2(Pareto最优解集)Pareto最优解(或非支配解)是不被可行解集中的任何解支配的解。所有Pareto最优解的集合为Pareto最优解集，定义为X*={x*∈X|∃x∈X∶x≻x*}。

由于区域覆盖是系统发挥功能的前提，而定位精度需要在满足覆盖的基础上进行优化，因此并非式(22)的所有Pareto解都满足预警星座设计的目标。针对这种多目标间存在主次关系的情况，将MOP问题式(22)转化为求解下面的MOP。

x=[L1L2…LNLa]；

(23)

根据式(23)所示，首先在整个搜索空间X上，将覆盖目标作为优化目标，求出Pareto最优解集X*，然后在X*上根据定位精度目标求解星座优化方案集合X**。显然式(23)的解是式(22)的子集。图5展示了这种两级求解过程。其中覆盖性优化环节设计了搜索空间变换方法，在变换后的搜索空间上搜索Pareto最优解可大幅缩短覆盖性优化时间，该过程将在3.2节中介绍；在基于定位精度目标优化中，采用序优化方法进一步缩短优化时间，该过程将在3.3节中介绍。

图5 多策略融合优化框架Fig.5 Multi-method fusion framework for optimization

3.2 搜索空间变换

(24)

由式(13)可知，星座覆盖性能指标函数为阶梯函数，可根据函数取值的不同将搜索空间进行分块，在同一块内，覆盖性能指标相同。

通过搜索空间变换方法，优化问题的搜索空间得到大幅度缩小。采用图7来说明搜索空间变换的原理。

图6 搜索空间分割示意图Fig.6 Sketch diagram of search space partition

图7 搜索空间变换示意图Fig.7 Sketch diagram of search space transformation

3.3 序优化方法

通过覆盖优化得到的Pareto最优解集X*中的每个解是一个由N+1个区间解构成的空间，它们是定位精度优化问题的搜索空间。为了进一步缩短优化耗时，在定位精度优化问题的求解中，采用序优化方法提高优化效率。

序优化方法(Ordinal Optimization, OO)[24]是一种数值优化方法。其方法是首先设计一个计算速度快的性能指标计算粗糙模型，然后利用该模型对备选方案进行筛选，选出性能指标数值排序前s个备选方案构成缩小的搜索空间S，在子集S中采用准确的性能计算模型重新计算，从而选出满意的解。序优化方法基于两个思想：① 序比数值在噪声存在时更稳健，② 放弃寻找最优解而找足够好的解。它可以大幅度缩减搜索空间，以很高的概率得到足够好的解。

图8 序优化总体思路Fig.8 General idea for ordinal optimization

图8为序优化总体思路示意图。图中：Θ为搜索空间；G为使系统性能足够好的解集，即Θ中性能排序前g个的方案构成的集合，它的势为|G|≡g；S为Θ的子集，通过某种规则(一般采用赛马(Horse Race)法[24])从Θ中选取，它的势为|S|≡s，序优化的目的是通过粗糙性能评价模型快速构造尽量小的S，使G∩S中以很高的概率包含至少k个元素。即PA(k,G,S)≡PA(|G∩S|≥k)很大(一般为95%)。因此搜索空间可以从Θ大幅度缩减到S上，再利用精确性能评价模型在S中搜索足够好的解。

将序优化方法用于定位精度优化的步骤如下：

步骤4利用精确定位性能计算模型在S中搜索到足够好的解。

4 仿真试验与结果分析

4.1 优化计算过程

以美国SBIRS-High星座为例，进行部署位置优化。假设星座需要优化4颗GEO卫星和2颗 HEO卫星组成的混合星座，轨道根数的约束条件如下：GEO卫星部署经度范围为(-180°,180°]，参考文献[9]，对HEO卫星参数约束如表1 所示。

根据文献[8]的分析结果，设置关注的重点区域如图 9所示。红色区域为重点关注区域中的优先级最高的区域，设置至少有两颗卫星覆盖，粉色和绿色区域为重点关注区域关注优先级相对次之的区域，设置至少需要一颗卫星覆盖。

根据区域的设置可计算完全覆盖每个区域的卫星部署范围，图10为GEO卫星部署区间和在每个区间上可覆盖区域的个数关系，根据此函数取值的不同可以将搜索空间分割为25段。一颗GEO卫星部署于同一段的不同位置，它对各区域的完全覆盖情况是相同的。通过搜索空间变换，搜索空间规模大幅度缩减，可以采用遍历算法搜索Pareto最优解。

在求得Pareto最优解集后，需要根据一定的准则在其中进行筛选，从中选出较好的解。根据预警需求，设筛选准则如下：

准则1重点区域覆盖重数要满足设计者的最低要求。

准则2尽量多的区域可以被双重或以上覆盖(可以被立体观测)。

准则3相邻GEO卫星位置不要过近，以免午夜太阳直射同时影响两颗卫星。

根据以上准则，筛选算法的流程如下：

步骤1设置对每个重点区域的最小覆盖重数F(goal)=[c1c2…cM]，从Pareto前沿中筛选出支配F(goal)的方案。

步骤2从步骤1的结果中筛选出双重以上覆盖的区域数目最多的方案。

步骤3设置相邻GEO卫星间隔最小夹角θmin，排除相邻GEO卫星部署区间间距小于θmin的方案。

在得到基于覆盖的优化解后可进行基于定位精度的优化。首先在搜索空间中进行采样，各卫星部署经度的采样间隔为3°，传感器视线误差40 μrad，利用粗糙模型采用赛马方式[24]进行计算。图11为粗糙模型的OPC，确定类型为Flat型。

表1 HEO星座参数设置Table 1 Parameters setting of HEO constellation

图9 监视区域分布Fig.9 Distribution of surveillance areas

图10 GEO卫星部署区间分割Fig.10 Partition for deployment interval of GEO satellite

图11 粗糙模型的性能排序曲线(OPC) Fig.11 Ordered performance curve (OPC) of crude model

随机从设计空间中选取500个点，计算粗糙模型和精确模型的标准差，估计模型误差为σ=0.16。通过查表可以得到相关参数，计算得s=66。从而利用精确模型对粗糙模型计算结果的前66个方案进行再计算。最终选择性能指标最好的作为优化方案。

优化结果为GEO卫星部署位置分别为90.8° W、1.3° W、80.1° E、143° E；HEO卫星远地位置分别为63.4° N、39° W和63.4° N、141° E。

4.2 结果分析

表2给出了优化算法的计算耗时和优化性能总体情况。优化总耗时56.15 s。因此该算法可以近实时的优化出卫星部署位置。在仿真算例中，覆盖最低要求为对12个区域中的4处区域实现双重覆盖，其余单重覆盖。而覆盖优化结果为对12处区域中的9个可持续3重覆盖，其余3个可双重覆盖。结果大大优于最低覆盖要求。

图12为此星座对全球的覆盖情况。不同颜色表示该区域被持续覆盖的最少重数。蓝色方块点是根据图9对重点区域的采样点。从图中可以看出所有重点区域都满足二重以上的覆盖，且北半球大部分重点区域为三重覆盖，HEO星座和GEO星座的综合覆盖优化使太平洋东部重点区域和大西洋北部重点区域也实现了三重覆盖，此外HEO两个向南延伸的区域也得到了充分的利用，对太平洋东部和中东两处中低纬区域进行了覆盖。而且可以发现多个区域正好处于多重覆盖区域的边缘，说明算法在寻优的时候在满足覆盖要求的情况下，尽量不浪费覆盖资源，使有限的视场覆盖尽量多的区域。

表2 优化效果概述Table 2 Overview of optimization results

图12 优化星座的覆盖图Fig.12 Map of coverage for optimized constellation

图13(a)和图13(b)分别为HEO卫星远地点位于63.4° N、39° W和63.4° N、141° E时的PDOP分布图。卫星在这两个位置附近运行约6 h 时，每天两个周期，交替对北半球进行探测。红色方格点为重点区域的采样点，由于单星区域无法计算PDOP，所以单星覆盖区域是空白。图中的颜色代表了PDOP的数值大小。从图13可以看出，所有重点区域都处于PDOP相对较小的区域。

图13 优化星座PDOP分布图Fig.13 PDOP distribution of optimized constellation

5 结 论

本文以多个区域覆盖重数和PDOP作为预警星座优化目标，所得结论如下：

1) 预警星座是多区域覆盖星座，需要对每个关注区域都满足覆盖要求，无法采用单目标优化算法进行优化。对采用多目标优化方法对M个关注区域的覆盖问题进行求解符合星座设计优化目的，能得到一组互不支配的Pareto最优解。

2) 基于覆盖性的搜索空间变换将搜索空间大幅度缩小，从而提高了覆盖性优化计算效率。

3) 基于序优化的定位精度优化可以快速优化出卫星的部署位置。面向覆盖和定位精度的星座综合优化时间在分钟级别，满足设计需求。

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刘冰男， 博士研究生。主要研究方向： 装备系统分析、 评估与优化。

Tel.: 0731-84573260

E-mail: liubeing@126.com

易东云男， 博士， 教授， 博士生导师。主要研究方向： 网络科学与大数据。

Tel.: 0731-84573206

E-mail: dongyunyi@sina.com

*Correspondingauthor.Tel.：0731-84573206E-mail:dongyunyi@sina.com

Missilewarningconstellationoptimizationbasedonsearchspacetransformationandordinaloptimization

LIUBing,YITaihe,SHENZhen,YIDongyun*

CollegeofScience,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410072,China

Highearthorbitmissilewarningsatelliteconstellationiscomposedofseveralsatellitesoperatingonthegeostationaryorbitandhighlyellipticalorbit.Thecoveragerequirementandpositioningprecisionarethemostimportantobjectivesofitsconstellationoptimization.Forthecoverageoptimization,thecoveragerequirementisdeterminedbythethreatdegreesofdifferentareas.Forthepositioningoptimization,thepositionalprecisioninmulticoverageandsinglecoverageregionsisdifferent.Thesetwofactsdefinetheconstellationoptimizationasacomplicatedmulti-regionalmulti-objectiveproblem.Todealwiththisproblem,amulti-layermulti-objectivemodelwhichisabletodescribetheproblemefficientlyisproposed.Thenamethodwhichdefinestheoptimizationasaprocesswithtwostepsisintroducedtosolvetheproblem.Intheprocessofcoverageoptimization,arapidmethodbasedonsearchspacetransformationisintroducedtothecalculationofParetooptimal,whichistimesavingandimprovestheaccuracy.Intheprocessofpositioningoptimization,theordinaloptimizationisproposedtosavethetimeofoptimization.Finally,thevalidityofthealgorithmistestedbythenumericalexperiment.Andthetimeconsumptionoftheentireoptimizationislessthanoneminute.

satellites;constellation;regionalcoverage;multi-objective;optimization

2015-10-23;Revised2015-12-23;Accepted2016-02-29;Publishedonline2016-03-021449

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1449.010.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61370013,91438202)

2015-10-23；退修日期2015-12-23；录用日期2016-02-29； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-03-021449

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国家自然科学基金 (61370013,91438202)

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.Tel.：0731-84573206E-maildongyunyi@sina.com

刘冰， 易泰河， 申镇， 等． 基于搜索空间变换和序优化的预警星座设计J． 航空学报,2016,37(11):3413-3424.LIUB,YITH,SHENZ,etal.MissilewarningconstellationoptimizationbasedonsearchspacetransformationandordinaloptimizationJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3413-3424.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0053

V412.41

A

1000-6893(2016)11-3413-12