张文帆， 张家忠， 曹盛力

西安交通大学 能源与动力工程学院， 西安 710049

NES对二维机翼气弹不稳定性的抑制作用

张文帆， 张家忠*， 曹盛力

西安交通大学 能源与动力工程学院， 西安 710049

采用数值方法研究了加装非线性能量汇(NES)的二维机翼在不同速度来流下的振动响应机制，着重探索了NES对系统振动的抑制以及系统内的靶向能量传递(TET)特性。首先，建立了加装在机翼前缘及后缘的NES与二维机翼的耦合系统模型，该模型考虑了机翼的沉浮与扭转振动。然后，从非线性振动响应和能量传递等几个方面研究了前NES与后NES对机翼振动的抑制效果和机制。进一步，应用频谱分析发现了此非线性耦合系统振动中存在共振捕获(resonance captures)特性，同时研究了前、后NES与机翼振动模式(沉浮与俯仰)间的靶向能量传递现象与机翼不同的极限环运动之间的对应关系。结果表明，采用前、后都加装NES的方法能够拓宽NES与机翼振动模式间发生靶向能量传递与共振捕获的频率范围，从而提升NES对机翼振动进行有效抑制的临界来流速度。

非线性能量汇； 振动抑制； 靶向能量传递； 非线性振动； 共振捕获

近年来,靶向能量传递(Targeted Energy Transfer, TET)和非线性能量汇(Nonlinear Energy Sink, NES)在被动振动控制领域的研究有了广泛的发展。事实上，NES为可实现靶向能量传递的非线性吸振器[1]。与线性吸振器相比，NES的共振吸振频率不再是离散的振动频率，而是具有在一定范围的频带上都能与主系统产生共振并吸振的性质。因此，NES具有吸振频带宽、吸振效率高的特点。对于无阻尼振动系统，能量以动能和弹性势能的形式在主系统和非线性附属结构间振荡传递，而在以附加阻尼的非线性能量汇为附属结构的系统中，会发生靶向能量传递现象，即能量由受控对象靶向地传递至NES并由其阻尼耗散，且这种传递是不可逆的。

除此之外，在研究能量靶向传递的同时也需要研究系统内产生的共振捕获(Resonance Capture)现象[2-6]。在振动现象上，靶向能量传递首先表现出系统各振动模式间出现的瞬态共振捕获特性，随后其从瞬态共振捕获中脱离，最终进入永久共振捕获。

所谓共振捕获，是存在于动力系统中的一种特殊现象，此现象的产生是由于动力系统中的主、子系统间在一定时间内产生了可公约的振动频率比。但这种频率并不固定且仍有其他振动频率的产生，当子系统参数发生变化时，共振捕获的频率也会发生变化。发生共振捕获时，主、子系统间伴随着剧烈的能量交换。重要的是，在子系统存在阻尼的情况下，能量交换的条件被“打破”，转而以靶向传递的方式大量且不可逆的由主系统传递至子系统内并耗散。因此，能量靶向传递的特性使NES的理论研究及应用变得十分重要。

文献[7]研究了机翼在来流激励下的参数振动，但此时还没有将研究重点聚焦在吸振器的非线性特性上。由于NES可以实现高效的振动能量衰减，国内外的一些研究小组对其复杂的动力学特征进行了研究。文献[8]最早对不同质量的本质非线性(Essentially Nonlinear)吸振器进行了研究，虽然其中简化后的线性主系统无法表现出系统中实际普遍存在的非线性特性，但这为之后的非线性吸振器研究奠定了基础。本文将研究主系统与吸振器都存在非线性项时所表现出的特性。文献[9]将文献[7]的研究对象拓展至二维非线性机翼(刚度非线性)，并研究其振动的触发机制，其中物理模型为二维机翼且无任何附加部件。文献[10-11]进一步研究了主、次系统都为非线性的耦合系统，探讨了NES对van der Pol振子的极限环振动的抑制作用以及与线性振子之间的动力学特性，得出了主系统与子系统内都存在非线性项时整个耦合系统的一些非线性振动性质。文献[12]则更加具体地研究了NES为准线性、弱非线性及强非线性时的特性，得出了NES的非线性特性越强，其吸振效率更高的结论。但其研究的振动系统为一维振动的简化模型，仍需研究将系统扩展至二维甚至三维时其表现出的更加复杂的振动现象。

随着研究的具体化，一些研究小组开始将研究聚焦于主系统为机翼的非线性耦合系统。文献[13]将主系统定为二维机翼，研究了在翼尖小翼中加入NES后对机翼振动的控制特性，但翼尖小翼的附加质量也会对机翼本身的气动性能造成无法忽略的影响。文献[14]将NES的安装位置做出了调整，与文献[13]不同的是，文献[14]用在机翼表面附加NES的方式研究了NES对大展弦比后掠型机翼的振动抑制情况。这在另一个角度为NES对机翼振动的抑制提供了依据，但其文中的实验也表明这种设计同样会影响飞行器的整体气动特性。文献[15]的方法避免了文献[13-14]中的设计对系统的影响，其研究了加装在机翼前缘内部的NES对二维非线性机翼的振动抑制特性，提升了对机翼极限环振动(Limit Cycle Oscillations, LCOs)有效抑制的临界速度。本文参考了文献[15]的设计方法，这样就可排除因机翼外形改变而对其气动特性的影响。

随着对NES更加深入的探索，对其研究的领域逐渐扩展至对能量传递的研究。文献[16]将NES的应用与能量传递结合起来，推导了振动能量在耦合振子的哈密顿系统中完全传递的条件，并发现实现能量的完全传递需要非线性附属结构的质量大于一定值，但只能粗略的估计小阻尼非保守系统中最优靶能量传递所需的初始能量。文献[17]进一步采用两自由度的非线性吸振器设计，可以使得能量在吸振器中的耗散加快,靶能量传递效果更好。但其主系统为单自由度系统，且两自由度的NES系统也是在同一水平面振动，无法保证主系统拓展至二维两自由度振动时其能量传递情况仍然具有普适性。

本文设计在二维机翼的前缘及后缘内部各加装一个刚度项为本质非线性的NES，使得2个NES组成两自由度子系统。文中利用数值积分以及频谱分析等方法分别从非线性振动响应、频幅分布和能量传递等几个方面研究了NES对机翼极限环振动的抑制机制，并着重研究了NES对振动的抑制与靶向能量传递之间的关系。

1 振动系统的建立

文中采用NACA0012翼型作为主系统。该系统为二维两自由度的刚性机翼与分别加装在机翼前缘与后缘附近的NES的耦合系统，如图1所示，图1中：c为弦长；b为半弦长；U为来流速度；h代表二维机翼刚心处的上下沉浮运动位移，向下为正；α是二维机翼绕刚心的扭转角，顺时针旋转为正；σ、e分别是刚心ea与重心cg的距离(刚心在前为正)及气动中心ac与刚心ea的距离(气动中心在前为正)；Kh、Kα是机翼沉浮与扭转的线性刚度系数；d1、d2是NES的安装位置与刚心之间的距离，NES在前为正；z1、z2为NES的沉浮振幅，向下为正；ms1、cs1和ks1分别是机翼前端NES的质量、阻尼系数及非线性刚度系数；ms2、cs2和ks2分别是机翼后端NES的质量、阻尼系数及非线性刚度系数。为了研究NES通过靶向能量传递对刚性机翼自激振动的抑制作用，研究了2个NES对振动的抑制结果，并与无NES的机翼振动结果进行对比。

图1 两自由度刚性机翼与前、后NES的耦合Fig.1 Two-DoF wing model coupled with two NESs

本文控制对象为参考文献[9]中的二维机翼模型，则机翼主系统的刚度项为Kh(h+chh3)，其特点是具有线性项Khh以及非线性项Khchh3两部分。

(1)

同理，可推导出机翼的俯仰运动方程。则最终由虚功原理[18]，可导出机翼与NES的耦合运动方程为

(2)

d2ks2(d2α+z2-h)=0

(3)

ks1(z1+d1α-h)3=0

(4)

ks2(z2+d2α-h)3=0

(5)

式中：m和Iα分别为机翼质量及其质量惯性矩；Sα为机翼对刚心的静矩，Sα=mσ；ch和cp为机翼沉浮与扭转的非线性刚度系数；q为动态压力，q=ρ∞U2/2,其中ρ∞为来流密度；S为翼段的参考面积；CLα为升力线斜率。

其无量纲形式为

y″+xαα″+Ω2y+ξyy3+μCLαΘ(y′+Θα)+

(6)

δ1C1(δ1α+v1-y)3+

δ2C2(δ2α+v2-y)3=0

(7)

C1(v1+δ1α-y)3=0

(8)

C2(v2+δ2α-y)3=0

(9)

为与文献[9,15]的结果进行对比，取固定参数xα=0.2,rα=0.5,γ=0.4,Ω=0.5,μ=1/10π,CLα=2π,ξα=ξy=1，各振动方式中的可变参数如表1所示。

表1 5种振动方式中的可变参数取值Table 1 Values of variable parameters in 5 cases

由振动方程导出机翼的沉浮、俯仰以及2个NES的瞬态能量为

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：EH为机翼沉浮模式瞬态能量；EP为机翼俯仰模式瞬态能量；EN1和EN2分别为前、后NES的瞬态能量。总能量的变化为

μCLαΘy′(y′+Θα)]ds

(14)

(15)

ET=EH+EP+EN1+EN2

(16)

式中：EF为气动力对系统做的功；ED为2个NES耗散的能量；ET为机翼系统的能量。

2 结果与分析

在耦合系统的参数取不同值时，得到机翼5种具有代表性的振动方式。文中将分别从系统的非线性振动及能量传递等方面来研究每种振动方式对应的现象及机制。

2.1 振动方式1

振动方式1的系统参数取为Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.1，C1=C2=10。如图2所示，其特点是一系列受抑制下的阵发性振动，且这些周期性的阵发振动在二维相平面上都体现出了准周期的特性[19]，其中沉浮振动与俯仰振动的抑制放大图如图3所示。振动幅值图中红色实线(WO NES)表示未加装NES的机翼振幅，蓝色实线(W NES)则表示受NES抑制的机翼振幅(全文的振幅图都按此区分)。可看出沉浮(Heave)与俯仰(Pitch)的振动都受到了很大程度的抑制。其中NES2比NES1的响应更加剧烈。表现出来流给机翼的绝大部分能量直接被2个NES所吸收而没有经过机翼的现象(机翼的沉浮和俯仰都被抑制的非常小)，虽然机翼的俯仰振动频率与沉浮的振动频率不完全一致，但由图4可看出其振动频率集中在25左右，而NES的非线性特性则可以使其在抑制机翼振动的同时与沉浮和俯仰发生周期性的1∶1共振，频幅图上可以看出4种振动(机翼的俯仰、沉浮以及前后两个NES的振动)发生了振动频率为25的共振，从而使机翼上的能量靶向传递至两个NES，又不断地由NES耗散。系统最后稳定在一系列受抑制的阵发性振动中，由图5及图6可以明确地看出此时的振动由两个极限环振动所控制[20]。为表达清楚，本文所有图中类似time 1～time 3的表达方式都是将整个振动时间段按时间的发展顺序无间断的分段划分。靶向能量传递的作用减弱，即机翼本身的自由振动起主导作用时，振动趋向于半径较大的极限环；而NES主导的靶向能量传递占主导地位时，振动趋向于较小的极限环。

图2 振动方式1的振动幅值Fig.2 Amplitudes in Case 1

图3 振动方式1中沉浮振动与俯仰振动的放大图Fig.3 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 1

图4 振动方式1的频-幅响应Fig.4 Frequency versus amplitude in Case 1

图5 振动方式1中俯仰振动的二维相图Fig.5 Phase portrait of pitch motion in Case 1

图6 振动方式1中俯仰振动按时间序列展开的相图Fig.6 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 1

图7所示为振动方式1的能量图，其对振动的抑制方式为间歇性抑制。此时NES开始起到吸收能量的作用，出现了一系列的瞬态共振捕获，每次共振捕获都使机翼振动动能减小，然后机翼脱离与NES的共振。随着振动继续发展，机翼振动动能增大，振动频率发生改变，又激发了本质非线性的NES与其发生瞬态共振捕获，如此周而复始的捕获-脱离的过程形成了耦合系统振动抑制的方式1。位于前缘附近的NES1对于机翼的沉浮(Heave)振动尤其敏感，同时位于机翼后缘的NES2对机翼的俯仰(Pitch)振动非常敏感，由图7 可知，系统中出现了沉浮模式将能量靶向的传递至NES1，而俯仰模式将能量靶向的传递至NES2的现象。从总能量的变化来看，方式1中机翼吸收的总能量随着时间发展呈现出周期性阵发的特点。同时，由NES所耗散的能量也呈现出阵发性上升的特点。以上的能量传递及消耗关系导致了机翼上剩余的振动动能呈现出周期性变化，如此可将机翼动能保持在非常安全的范围内。

图7 振动方式1中机翼与前、后NES间的能量传递图与总能量变化Fig.7 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 1

2.2 振动方式2

本例中的系统参数取为Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.2，C1=C2=20。增加了前、后NES的刚度系数及阻尼系数。振动幅值如图8所示。振动方式2的特点是对机翼振动立即且永久的抑制，先后经历了两部分振动抑制过程：

瞬态共振捕获：在振动刚开始时，由于初始位置不在平衡位置，使得机翼一开始就存在沉浮振动，随后立即被NES将能量吸收并耗散，使得沉浮振动得到暂时的抑制。

图8 振动方式2的振动幅值Fig.8 Amplitudes in Case 2

永久共振捕获：如图9所示，随着时间发展，机翼的沉浮及俯仰的振动都开始增大，NES重新开始与机翼产生1∶1永久共振能量捕获，能量由机翼靶向传递至NES，再由NES耗散掉，使得系统达到一个振动受到永久抑制的状态。最终NES1与NES2也保持振动状态不变。这与方式1的周期性抑制有着很大的区别。

图9 振动方式2的沉浮振动与俯仰振动的放大图Fig.9 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 2

由图10可以看出，此方式的1∶1共振捕获更加明显，几乎整个耦合系统都在发生1∶1共振，这使得机翼与两个NES之间的靶向能量传递效率较高，使得方式2比方式1的振动控制效果更加明显。由图11和图12也可看出整个振动方式2分前后两个部分，尤其是第2部分，将振动永久地保持在了一个较小的极限环振动上。

如图13所示，方式2存在一个强烈的能量传递过程，随后能量分布比例趋于稳定。由于方式2与方式3在能量传递现象中有相似之处，则在对方式3的能量传递现象进行分析时将对方式2中的能量传递现象进行对比分析。

图10 振动方式2的频-幅响应Fig.10 Frequency versus amplitude in Case 2

图11 振动方式2中俯仰振动的二维相图Fig.11 Phase portrait of pitch motion in Case 2

图12 振动方式2中俯仰振动按时间序列展开的相图Fig.12 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 2

图13 振动方式2中机翼与前、后NES间的能量传递图与总能量变化Fig.13 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 2

2.3 振动方式3

本例系统振动参数取为Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.4，C1=C2=40，与方式2相比，本例进一步增大前、后NES的刚度系数和阻尼系数。振动方式3的特点是贯彻始终的永久共振捕获，如图14所示。因为将阻尼系数增大，NES的能量耗散加快，使得方式2较小而稳定的极限环振动发展为方式3的接近静止状态的极限环振动(见图15)。由图16可以看出，方式3中的共振捕获仍然存在，因进入共振捕获状态后的系统振幅数量级较小，所以1∶1共振捕获在整个频幅图中并不明显，但仍可看出机翼的两种振动模式及前、后NES间存在共振的情况。这是由于振动刚开始时有一个小幅激励，在其它方式中主系统的振幅较大，则这种初始激励的在量级上就显得较小。但在方式3中，其系统的振动在数量级上非常接近静止状态，相比之下，初始激励所引起系统振动的振幅就相对较大。体现在幅频图上时将会显得以永久共振捕获方式控制的振动的幅值比例相对较小。结合图17和图18 可以更清楚地看出方式3经过较短时间后将永久的处于一个非常小的极限环振动中。

图14 振动方式3的振动幅值Fig.14 Amplitudes in Case 3

图15 振动方式3的沉浮振动与俯仰振动的放大图Fig.15 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 3

图16 振动方式3的频-幅响应Fig.16 Frequency versus amplitude in Case 3

方式3与方式2相似，加大了NES的刚度与阻尼系数后，2个NES吸收能量的效率得到提高。这两种方式中的系统在振动初期都存在一个强烈的能量传递过程，随后能量分布比例趋于稳定(图13)。但与方式1不同的是，方式2与方式3 都在初期的瞬态共振捕获之后存在着贯彻至时间终止的永久共振捕获。前、后NES所表现出的小能级但持续的能量吸收性质使机翼从来流中获取的能量得以持续的传递至NES中并由其耗散。所以机翼能够保持稳定小幅振动的状态而不是像方式1一样有周期性的阵发性振动。

图17 振动方式3中俯仰振动的二维相图Fig.17 Phase portrait of pitch motion in Case 3

图18 振动方式3中按时间序列展开的俯仰振动相图Fig.18 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 3

方式2与方式3的抑制方式都属于对振动的持续性抑制，由图19可以看出，随着振动的长时间发展，机翼吸收的总能量几乎与NES耗散的能量保持一致，而且能量曲线也非常的平滑，此时机翼与NES一直处于永久共振捕获的状态内，将机翼的振动动能平稳地控制在很小的数量级上。

图19 振动方式3中机翼与前、后NES间的能量传递图与总能量变化Fig.19 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 3

2.4 振动方式4

在振动方式4中，系统参数为Θ=0.97，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.02，λ1=λ2=0.4，C1=C2=40。加大了来流速度，同时加大了NES与机翼的质量比。如图20所示，方式4的特点是出现了类似方式1的周期性的瞬态共振捕获(沉浮与俯仰振动的放大图如图21所示)，但在方式4中能量的传递更加频繁。从图22中可以非常明显地看到机翼的两种振动模式和前、后NES之间发生了共振，此方式充分体现出了靶向能量传递在系统间发生1∶1共振捕获时效率非常高。机翼两个自由度的振动以及两个NES的振动频繁的在两个极限环之间转换(如图23、图24)。此方式的出现提升了NES对机翼振动抑制失效的临界来流速度ΘF。在文献[15]中，Θ=0.95时抑制就已经失效(无NES的机翼在Θ=0.87时机翼的振幅尤其是Pitch振动的幅值就已经使机翼达到强度极限)，在参数相同的条件下，本文装有前、后NES的机翼则在Θ=0.99时才会出现抑制失效。

图20 振动方式4的振动幅值Fig.20 Amplitudes in Case 4

图21 振动方式4的沉浮振动与俯仰振动的放大图Fig.21 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 4

图22 振动方式4的频一幅响应Fig.22 Frequency versus amplitude in Case 4

方式4是在本文中出现的新的振动抑制方式，文献[12]中当Θ=0.95时，NES开始失去抑制机翼振动的作用。而方式4中取Θ=0.97时仍可以起到显著地振动抑制作用，并且从能量转换的过程来看，出现了类似方式1的周期性瞬态共振捕获。每当NES1的能量上升，必然伴随着同数量级的沉浮模式的能量下降，同时，NES2的能量上升，也必然伴随着同数量级的俯仰模式的能量下降。由此，则可得出机翼的沉浮模式主要将能量传递给NES1，机翼的俯仰主要将能量传递给NES2的结论，此时各能量传递的过程仍是由于机翼与NES之间的1∶1的共振捕获。

图23 振动方式4中俯仰振动按时间序列展开的相图Fig.23 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 4

如图25所示，方式4与方式2、方式3的能量图很相似，但由其放大图上可以看出，机翼吸收的总能量与NES耗散的能量也出现了阵发性的特征。与前文中各方式的振动结果进行对比分析后可得出，方式4的振动特性的出现是由于改变系统参数后，机翼沉浮与俯仰振动的频率发生了变化，而响应频域很广的两个NES分别与机翼的两个振动模式发生了不同频率的1∶1共振捕获，从而又达到了类似方式1的振动抑制状态，将机翼振动的动能抑制在一个小数量级内。

图24 振动方式4中俯仰振动的二维相图Fig.24 Phase portrait of pitch motion in Case 4

图25 振动方式4中机翼与前、后NES间的能量传递图与总能量变化Fig.25 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 4

2.5 振动方式5

方式5将无量纲来流速度提升至Θ=0.99，其余参数与方式4相同，振动幅值如图26所示。

此方式中振动抑制已经开始失去作用。NES与机翼的两个自由度之间的振动已不是以1∶1共振为主，而是机翼的俯仰与沉浮之间发生了超谐共振或次谐共振，如3∶1或1∶3共振。图27可以明显的看出在机翼的沉浮振动模式同时出现了两个共振频率。其中一个频率为9.6，与俯仰及两个NES的频率一致；而沉浮振动的另一个共振频率为28.8，恰好是前者的3倍。如文献[9]所述，若机翼振动的两个自由度之间发生了次谐或超谐共振，则可能会导致系统振动的发散。而加装NES的主要目的就是阻止或延迟机翼2个模式的振动之间发生超谐或次谐共振，并通过NES与机翼的1∶1共振将能量从机翼的振动中吸收并耗散。由图28、图29可看出系统的振动发展成为远大于初始激励的振动，使整个系统处于振动抑制失效的状态。

图26 振动方式5的振动幅值Fig.26 Amplitudes in Case 5

图27 振动方式5的频一幅响应Fig.27 Frequency versus amplitude in Case 5

图28 振动方式5中俯仰振动的二维相图Fig.28 Phase portrait of pitch motion in Case 5

图29 振动方式5中俯仰振动按时间序列展开的相图Fig.29 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 5

系统处于振动抑制失效状态时，可明显从振幅图中看出NES失去了振动抑制的作用。此时有NES的系统振幅甚至超过了无NES的机翼的振幅。而由方式5中的能量传递图可以看出，此时同数量级之间的能量不再是此消彼长、传递为主，而是出现了能量同增同减的情况。如NES1的能量波峰和波谷都与沉浮振动的能量波峰和波谷一一对应，能量的增减保持同步。此时系统内部的振动和能量传递情况是非常复杂的。首先，系统内部出现了沉浮与俯仰的次谐或超谐内共振，这种内共振会导致系统的振动发散，发生能够破坏机翼的大幅极限环振动甚至引发颤振。虽然本质非线性的NES能够在很大的范围内与机翼发生1∶1共振从而抑制振动，但此时机翼的振动频率发生了变化，如沉浮的主振动频率有2个。这已经超出了NES能够对机翼振动进行有效抑制的频率范围，且同时NES也参与了这种次谐或超谐共振的过程。不改变任何参数的情况下，系统发散的速度很快。在本文所研究的模型中，虽然可以通过适当地增大NES与机翼的质量比ε1、ε2来提升机翼的振动抑制临界速度Θ，但当此质量比过大时飞行器本身的载重限制以及过重的附加质量会导致机翼的力学性能产生不可忽略的变化。

如图30所示，方式5与方式2的能量曲线非常相似，但方式5中的振动在能量级上比方式2的大，处于此中方式中的NES已经不能体现出其对机翼振动的抑制效果。由图30可看出，虽然NES对能量的耗散也较之前的方式有了数量级的提升，但机翼从来流中吸收的总能量也迅速变大，此时机翼将处于一个稳定的大幅极限环振动状态，类似于振幅和能量级数都被放大了的方式2。但此时机翼已经处于大振幅极限环振动状态，这是本文要避免的对机翼造成不可逆破坏的状态。

图30 振动方式5中机翼与前、后NES间的能量传递图与总能量变化Fig.30 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 5

上述的5种方式可以很详细地说明前、后加装NES的机翼的振动状态随来流速度、刚度系数及阻尼系数的变化规律。在与文献[12]参数相同的条件下，前后2个NES的设计提高了对机翼振动进行有效抑制下的临界来流速度Θ。Θ=0.99并不是本文中NES振动抑制的极限，若不考虑增大的附加质量对机翼力学性能的影响，在来流速度持续增大的条件下，可以增大NES与机翼的质量比ε1和ε2来保持振动抑制的状态。

3 结 论

1) 通过研究机翼的沉浮、俯仰及2个NES的振动情况，从中分析了4种NES对机翼进行有效振动抑制的代表性的方式以及1种振动抑制失效的方式，证实了NES作为非线性吸振器的确有着很宽的吸振频率，能够很大程度上拓宽与受控对象(机翼)的共振范围。进一步验证了高效的靶向能量传递必然伴随着1∶1共振捕获，若系统内部的振动存在超谐或次谐共振，则系统就会发展成为抑制失效的大幅度振动甚至振动发散。而本文中前、后加装NES的设计可以使系统模式间发生1∶1共振的能量范围得到提高。

2) 从能量传递的角度来分析时可以明确的看出，前置NES与机翼的沉浮振动之间产生了靶向能量传递，后置NES与机翼的俯仰振动之间产生了靶向能量传递，2个NES分别控制机翼的单个振动模式。这种设计使得NES可以单独从机翼的某1个特定的振动模式中吸收能量，拓宽了NES所构成的子系统与机翼主系统之间发生靶向能量传递的能量范围。

3) 当来流速度超过一定值时，机翼的振动模式与NES的振动之间靶向能量传递的关系消失，振动抑制失效。此时NES失去了吸振器的作用。而文中前、后设置NES的方法可使NES对机翼振动进行有效抑制的临界来流速度得到提升。

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ZHANG J Z. The motion stability, bifurcation theory and application of nonlinear dynamic system[M]. Xi’an: Xi’an Jiaotong University Press, 2010 (in Chinese).

张文帆男， 博士研究生。主要研究方向： 流动稳定性分析及结构气弹自适应流动控制， 非线性振动及靶向能量传递。

E-mail: sheen.z@163.com

张家忠男， 博士， 教授， 博士生导师。主要研究方向： Navier-Stokes方程、 湍流中的奇异性、 非线性行为和建模, 以及通向湍流的途径、 相应的数值分析方法。

Tel.: 029-82664177

E-mail: jzzhang@mail.xjtu.edu.cn

曹盛力男， 博士研究生。主要研究方向： 流动稳定性分析及结构气弹自适应流动控制。

E-mail: csl1993@stu.xjtu.edu.cn

*Correspondingauthor.Tel.：029-82664177E-mail:jzzhang@mail.xjtu.edu.cn

Suppressionofaeroelasticinstabilityof2-Dwingbynonlinearenergysinks

ZHANGWenfan,ZHANGJiazhong*,CAOShengli

SchoolofEnergyandPowerEngineering,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China

Theflow-inducedvibrationoftwo-dimensionalwingcoupledwithtwononlinearenergysinks(NESs)underfreestreamflowisstudiedbynumericalmethods,andtherelationshipbetweenthevibrationsuppressionandtargetedenergytransfer(TET)ofthesystemisanalyzed.Themodelofthecouplingsystem,whichtakesintoaccountbothheaveandpitchmotions,isdeveloped,andtheNESsarelocatedattheleadingedgeandthetrailingedge(NES1andNES2)separately.ThemechanismsofvibrationsuppressionbyNESsarealsoinvestigatedfromtheviewpointofenergytransfer,etc.,andtheresonancecapturesinthenonlinearcouplingsystemarestudiedusingspectrumanalysis.TheensuingTETthroughthemodesofwing(HeaveandPitch)andtheNESsarediscussed,andtherelationshipbetweenTETanddifferentlimitcycleoscillationsofwingareinvestigatedaswell.TheresultsshowthattheNESscanbroadenthefrequencydomaininwhichtheTETandresonancecapturesbetweenmodescanbemoreavailableinthecouplingsystem.Therefore,theTETismoreefficientbetweenthewingandNESs,thusleadingtotheincreaseofthecriticalvelocityoffreestreamunderwhichthevibrationofwingcanbesuppressedbyNESseffectively.

nonlinearenergysink;vibrationsuppression;targetedenergytransfer;nonlinearvibration;resonancecapture

2015-10-29；Revised2015-12-03；Accepted2016-01-08；Publishedonline2016-01-121122

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160112.1122.002.html

s:NationalBasicResearchProgramofChina(2012CB026002);NationalKeyTechnologyResearchandDevelopmentProgramofChina(2013BAF01B02).

2015-10-29；退修日期2015-12-03；录用日期2016-01-08； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2016-01-121122

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160112.1122.002.html

国家“973”计划 (2012CB026002)； 国家科技支撑计划 (2013BAF01B02)

*

.Tel.：029-82664177E-mailjzzhang@mail.xjtu.edu.cn

张文帆， 张家忠， 曹盛力．NES对二维机翼气弹不稳定性的抑制作用J．航空学报,2016,37(11):3249-3262.ZHANGWF,ZHANGJZ,CAOSL.Suppressionofaeroelasticinstabilityof2-DwingbynonlinearenergysinksJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3249-3262.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0013

V211.47

A

1000-6893(2016)11-3249-14