☉清华大学附属中学　张晓琼

低起点，高视角——对2016年北京中考数学第28题的评析与思考

☉清华大学附属中学张晓琼

近两年北京市中考试题让人们感觉耳目一新，呈现方式有了明显的变化，其中几何综合题尤为突出.2015年的几何综合题最后一问虽然是常规的求线段长的问题，但是答题要求却非常规，不要求写出解答过程，而是写出探究思路，这是前所未有的.第三问的“别出心裁”，让学生得分惨不忍睹.2016年的几何综合题在2015年转型的基础上，又改变了以往试题的呈现形式，进行了一定的创新，将学生课堂研究问题的全过程原汁原味地呈现在试卷当中.试题消除了学生以往“入手难”的恐惧心理，让学生容易进行初步分析，心态平和、思路开阔，既考查了基础，又关注了学生的能力培养，对数学教学起到引导作用.

一、原题呈现

题目（2016年北京市中考数学第28题）在等边△ABC中.

（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数.

（2）P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证PA=PM，只需证△APM是等边三角形.

想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证PA=PM，只需证△ANP≌△PCM.

想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK.

……

请参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM.（一种方法即可）

图1　

图2　

二、解法探究与评析

我们首先从图形的构成入手，题中给出了两个共顶点的特殊三角形：等边△ABC、等腰△APQ，且四个顶点B、P、Q、C共线，很显然图形具备轴对称性.因为∠BAP= 20°，所以第一问求∠AQB的度数可以直接转化为求∠APC的度数，很容易利用外角与等边三角形性质求得∠AQB=∠APC=80°.第二问中改变了P，Q两点的位置，让其在BC上运动，再作出点Q关于直线AC的对称点为M，虽然P、Q、M三点的位置都在变化，但运动变化中的△ABP，△ACQ，△AMC的轴对称关系不变，所以我们可以利用它将线段与角进行转化.

来看第二问，我们不妨从四个角度思考.

第一类方法：要证AP=PM，即证△APM是等边三角形.由AP=AQ=AM，即证∠PAM=∠BAC=60°.

图3　

答案中给出如下证法：过点A作AH⊥BC于点H，如图3.由△ABC为等边三角形，可得∠BAH=∠CAH.由AP=AQ，可得∠PAH=∠QAH.可得∠PAB=∠QAC.由点Q、M关于直线AC对称，得∠QAC=∠MAC，AQ=AM.所以∠PAB=∠MAC，AM=AP，所以∠PAM=∠BAC=60°.则△APM为等边三角形，PA=PM.

我们可以将答案证法优化，不添加辅助线，直接推导得到∠PAM=60°.

如图4，由AB=AC，AP=AQ，可得∠APQ=∠AQP，∠ABC=∠ACB，所以∠PAB=∠QAC.根据点Q，M关于直线AC对称，可得∠QAC=∠MAC=∠PAB，所以∠PAM=∠BAC=60°.我们还可以连接MC，如图5，证得∠APB=∠AQC=∠AMC，所以∠APC+∠AMC=180°，由∠PCM= 120°，根据四边形内角和得到∠PAM=60°.

图4　

图5　

第二类方法：要证PA=PM，只需构造以PA，AM为对应边的两个全等的三角形即可.

证法：在BA上取一点N，使BN=BP，连接PN，CM，如图6.由△ABC为等边三角形，得△BNP为等边三角形.所以AN=PC，∠ANP=120°.由AB=AC，AP=AQ，得∠PAB=∠CAQ，所以△ABP≌△ACQ，BP=CQ.由点Q，M关于直线AC对称，得∠ACM=∠ACQ=60°，CM=CQ.所以NP=BP= CQ=CM.由∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°，所以△ANP≌△PCM，PA=PM.

图6　

图7　

我们还可以在CA上取一点N，使CN=CP，连接PN，MC，如图7.所以△PCN为等边三角形，PN=PC，∠ANP= 120°，同前可证△ABP≌△ACQ，所以BP=CQ=CM=AN，由∠PCM=120°，所以△ANP≌△MCP，PA=PM.

这两种方法都是构造与△PCM全等的三角形，也可构造与△APB全等的三角形.如图8，延长PC至N，使得CN=BP，可证BP=CQ=CM=MN，所以△ABP≌△PCM，PA=PM.

图9　

图8　

第三类方法：根据等量公理，利用中介线段证明线段相等，证明的关键在于找准中介线段.

证法：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到BK，连接KP，CK，MC，如图9.要证PA=PM，只需证PA=CK，PM= CK.由作图，得△BPK为等边三角形，KB=BP=PK，∠KPB=∠KBP=60°，所以∠KPC=120°.由△ABC为等边三角形，得△ABP≌△CBK，AP=CK.同前可证△ABP≌△ACQ，BP=CQ.由点Q，M关于直线AC对称，得∠BCM= 2∠ACQ=120°，CQ=CM=PK.所以MC∥PK，四边形PKCM为平行四边形，所以CK=PM，PA=PM.

我们还可将将线段BP绕点B逆时针旋转60°，得到BK，连接KP，CK，MC，如图10.先证△AKP≌△CPK，得到AP=CK；再证△KPC≌△MCP，得到PM=CK，因此PA=PM.

图10　

图11　

第四类方法：利用同圆中弧、弦、圆心角、圆周角等间的等量关系来证明线段相等.

证法：如图11，由AP=AQ=AM，可得点P、Q、M都在以点A为圆心，AP长为半径的圆上.所以由∠MPC+∠ACP=∠CAM+∠AMP可得∠AMP=∠ACP=60°.由AP=AM，可知△APM为等边三角形，从而证得PA=PM.

评析：分析完本题，再跳出它的预设思路，从整体重新审视，我们发现△ABP经过连续两次轴对称得到△AMC，而两次的轴对称变换可实现一次旋转变换，且旋转角为对称轴所在直线夹角的2倍.本题对称轴所在直线AH，AC夹角30°，如图3所示.所以旋转后的对应线段的夹角为60°，即∠PAM=60°.亦或者本题可以做一些变式，所需求证的∠PAM=60°，和点Q并没有关系，那为何交代点Q，只为了交代点M的位置，如果是这样，我们完全可以变换一种方式，如连接CM，给出∠PCM=120°即可.如果这样设计，那就和2013年北京市的几何综合题（第25题）如出一辙.

三、思考与启示

本题的第一问虽然很简单，但有部分学生利用边边角证明三角形全等，说明他们对于三角形全等的条件并没有熟练掌握；第二问有的学生直接利用第一问的已知条件∠BAP=20°，说明学生对于题目的大前提与小前提分不清楚.本题的第二问分为以下几个阶段，首先需要发现问题（PA，PM的数量关系）、再提出问题（PA=PM），通过交流与讨论，形成了解决问题的三种不同的思路，让学生进行独立思考，发现可以从不同的角度进行分析，并最终选择一种方法解决问题.学生需要根据已知条件，体验解决问题方法的多样性，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，考查学生思维的灵活性和多样性.同时，抛开题目本身来说，学生在平常的学习过程当中，不仅需要注重思维的灵活性与多样性，同时还需要注重思维的深刻性.也就是说，在追求解法多样性的过程当中，一定要善于总结哪个思维出发点解决问题是最优的，既要保持思维的灵活性也要保持思维的深刻性，这样才能不断地提升自身的思辨能力.

1.王亮亮，范永春.2016年北京市中考数学试题解析［J］.数学通报，2016（7）.