藏锋内敛：例说综合题命制中的分类讨论——由2016年山西省压轴题的拓展思考说起

2016-11-18江苏省盐城市大丰区实验初中杨剑峰

中学数学杂志 2016年20期

☉江苏省盐城市大丰区实验初中　杨剑峰

☉江苏省盐城市大丰区实验初中杨剑峰

中考综合题特别是压轴题常常会考查分类思想，以便检测学生数学思维的严谨性、慎密性.也有些考题对分类讨论提出过高要求，陷入失控、无度状态.本文先对一道考题的第（3）问进行思路解析，并拓展思考，最后围绕综合题命制中对分类讨论的调控提出一些初步思考，提供研讨.

一、考题的思路突破

图1　

考题（2016年山西省第23题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.

（1）略；（2）略；

（3）若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.

以下重点展开第（3）问思路突破：首先要分析待求的△OPQ是等腰三角形有几种不同情形，考虑到点P是y轴负半轴上一个动点，且△OPQ顶点Q是由直线PB与直线l相交所得，故不可能有OP=PQ.只可能存在两种情况，即OP=OQ或OQ=PQ.以下构造出草图（如图2，图3）.

图2　

图3　

以下分述之：

①如图2，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形.此时，过点E作EM∥PQ交y轴于点M，容易得到△OME也是等腰三角形，OM=OE=5，于是可求出直线ME的解析式为y=根据两直线平行，斜率k相等，可设直线PQ的解析式为把B（8，0）代入即可得即点此外也可考虑利用△OPQ～△OME得到的比例式，以及由MH∥PB可得，组合沟通得出答案.

②如图4，当PQ=OQ时，△OPQ是等腰三角形.结合点E，C坐标的特征，发现△OCE是等腰三角形，OE=CE，于是可以确认CE∥PQ.可先解出直线CE的解析式为，进一步设直线PQ的解析式为把B（8，0）代入解析式可得即

二、拓展思考

考虑到第（3）问限制了点P在y轴的负半轴上，如果该点放开到y轴上任意一点，那么还会有怎样的可能情形呢？

问题表述如下：若P是y轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.

图4　

图5　

图6　

先研究图4的情形，此时OP=PQ，△OPQ为等腰三角形，可得△OPQ～△OEC，结合OE=CE=5，OC=8，有OP∶OQ=5∶8，可设OP=5m，OQ=8m，设法将Q点的坐标用含m的式子表示，如图6，在Rt△OQH中，该三角形的三边之比是“3∶4∶5”，可以表示出即点Q的坐标由于另有P（0，5m），B（8，0），三点都是共线的，所以就转化为以下问题：

解析：设该直线解析式为y=kx+b，把三个点坐标分别代入直线解析式可确定出

接着研究第4种情形，如图5，此时OP=OQ，点P在y轴正半轴，而点Q在x轴下方，可设P（0，5n），则OQ=5n，根据点Q在直线上，可得Q（3n，-4n），于是三点（0，5n），（3n，-4n），（8，0）在同一直线上，可以确定

三、命题感悟

即点P（0，24）.

从以上解法探讨和拓展思考来看，山西省中考数学命题组应该已预见到如果将点P放开在y轴上深入探究，则学生在考场上限时独立解答完整的可能性是很小的，基于内敛藏锋的命题取向，命题组将探究的范围适当缩小，使得问题分类讨论的情形只有两种，减小了求解的难点，值得点赞.以下再围绕命题中分类讨论的话题给出几点进一步的思考.

1.分类讨论的命题立意需要指向概念教学

初中阶段的分类讨论非常丰富，具体来说，代数领域由于数的范围之丰富需要分类讨论，比如实数系分有理数与无理数，或者是正数与负数，对应到一个点所在数轴上的位置，就需要分该点在数轴上的正半轴、负半轴或原点等位置，上述考题第（3）问限制了在y轴负半轴上思考，而一旦放开，则需要考虑另外的点P在y轴正半轴的两种可能情形.再比如在几何领域，图形之间的不同位置关系往往会带来分类讨论，三角形全等（相似）的不同对应关系会带来分类讨论等，如本题中等腰三角形的腰没有明确，则也会面临着分类讨论.这些分类讨论的命题立意，背后都指向重视概念教学.

2.分类讨论需要深思，以防陷入无度失控

分类讨论是每份中考试题都会反复考查的一种重要思想方法，对于检测学生思维严谨性、慎密性有着十分重要的考查功能.但是分类讨类的考题也需要注意把控和反复推敲，防止失控与无度.我们常常见到有些地区的考题，一道综合题的分类讨论结论多达4种以上，有些分类讨论之后运算还十分繁杂，且运算的类型也高度趋同，使得考生思路易见，运算难见终点.

3.分类讨论的问题需要考虑多种解法兼容

得到普遍认可的是，中考综合题的解法需要多样化，因为中考面向的是大样本甚至全样本环境下的测试考查，一道把关题的设计高度，需要兼顾不同思维风格学生的思维特点.故命题时对于综合题的不同分类情况，不仅要考虑分类的合理与思路如何生成，还要构思或预设学生可能的解答路径，使得考题的内容效度与信度达到较高水平，也是试题命制中“兼顾公正”的一种追求.