习题课教学：从“拿来主义”走向编题变式——以“数轴再认识”习题课为例

2016-11-18江苏省海安县胡集初级中学王秀梅

中学数学杂志 2016年20期

☉江苏省海安县胡集初级中学　王秀梅

☉江苏省海安县胡集初级中学王秀梅

不少数学教育学者（如人民教育出版社中数室章建跃编审）指出：要重视数学核心概念的教学.而对于所谓“核心概念”的界定又显困难，通常需要教师根据自身对数学的理解、对学生的理解、对教学的理解来确定哪些概念是“核心概念”，需要并值得在教学中增设课时进行重视和强化.比如，笔者认为，学生刚进入初中，数系刚扩充到有理数，就引出数轴的概念，基于数轴定义了相反数、绝对值等重要概念，为后续研究有理数的运算提供了奠基作用，则数轴可看成是有理数基础概念中的核心概念.根据以上认识，我们在教材内容之外，在数轴、相反数、绝对值教学之后，自主增设了数轴习题课，引导学生对数轴再认识，起到了较好的教学效果.本文整理该课的教学设计，并跟进教后反思，供研讨.

一、数轴习题课教学设计

教学环节（一）：从数轴出发

（1）数轴的概念；简要回顾从温度计（如图1）抽象出数轴（如图2），安排学生回顾数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）.

图1　

图2　

（2）数轴与相反数的关系.

在数轴上，到原点距离相等的点有两个，这两个点所表示的数符号相反，称它们为相反数.

（3）数轴与绝对值的关系.

在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.

（4）数轴与数的大小比较.

数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.

（5）数轴与有理数的运算.

比如，即将要学习的有理数加法运算中的异号两数相加，本质上是将互为相反数的部分抵消.可举例示范：-3+2=-1+（-2）+2=-1.

设计意图：数轴是进入初中第一个数形结合的工具，不仅可以把有理数表示对应到数轴上，而且是后续定义相反数、绝对值的基础，又是研究数的运算的一种工具，还是以后学习平面直角坐标系的基础.

教学环节（二）：典例分析

例1如图3，数轴上，点A、B分别表示a、b.

图3　

（1）从图中读出a=______，b=______；

（2）在图中标出a的相反数-a；

（3）点B到原点的距离是多少？

（4）点A、B之间的距离是多少？

（5）将点B向右移动7个单位到达点C，则点C到点A的距离是多少？

【预设讲评】

（1）a=2，b=-3；

（2）在-2处标出即可，图略；

（3）3；

（4）5；

（5）点C对应着数4，则点C到点A的距离是2.例2如图4，数轴上，点A、B分别表示a、b.

图4　

（1）从点B所在位置来看，数b是一个正数还是负数呢？

（2）在数轴上标出表示-b的数，并用点B′表示；

（3）比较a、b、-a、-b的大小，用“<”连接；

*挑战*（4）设线段AB的中点为M，点M对应的数是m，试用含a、b的式子表示m.

【预设讲评】

（1）b是负数；

（2）在原点右侧，与点B等距离的位置标出点B′，图略；

（3）在图中再标出表示-a的点，这样可以由数轴上数的大小关系，直接写出b<-a

（4）可以从特殊值出发，比如取a=2，b=-3时，m=-0.5；a=1，b=-4时，m=-1.5；a=3，b=-1时，m=1；…；可归纳出m=

教学环节（三）：变式训练，听课检测

变式题：如图5，点M、N是数轴上两点，对应着数m、n.

图5　

（1）当m=-3，n=2.9时，M、N之间的距离，即MN= _____；

（2）将点N向左移动5个单位后对应着点A，若点A还在M点右边一个单位，则MN=________；

*挑战*（4）若点A对应着1，当MA=NA时，求4m+4n+ 2008的值.

【预设解答】

（1）5.9；

（4）结合上面例题中所探究的中点与线段两端点对应数之间的关系，可以发现m+n=2，则4m+4n+2008的值为4×2+2008=2016.

设计说明：针对前面的例题的类型进行的变式训练，前三问属于简单变换字母、数字，而最后一问则是对上面例题中的最后一问的变式拓展，需要学生有整体求解的策略.这里也可顺便链接九年级二次函数的一类习题，如图6，二次函数y=ax2+bx+c的图像（抛物线）与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），抛物线的对称轴与x轴交于点M（m，0），一定有（x1+x2）.二次函数学习时，不少学生不能灵活运用该性质处理有关问题，如图7，当问题变式到直线y=e与抛物线相交于C（x3，e）、D（x4，e），时，与对称轴交于N（n，e），仍然有.对比例2（4）、变式题（4），就会发现，虽然较难，但是它们都“指向将来”，让学生提前熟悉这类问题或结构是十分有益的.

图7　

图6　

二、关于“习题课”的相关思考

1.习题课的增设需要专业自主，是“用教材教”的体现

通常情况下，较为重要的数学概念或性质教学之后，都会安排习题课，但习题课的内容却是订正学生手头的所谓教辅资料上的相关习题，成为习题订正或讲评课.我们所谓的增设习题课是指教师在新授课期间主动预设的一种课型，需要基于专业自主，组织教学内容，增设出来的习题课.这也是教师从“教教材”走向“用教材教”（钟启泉教授语）的一种专业追求.

2.习题课的开课阶段需要梳理回顾，复习相关概念或性质

习题课的开课阶段需要梳理近阶段相关概念的关系，如上面数轴的习题课开课时，我们把与数轴相关的一些概念、性质、应用都梳理一遍，促进学生自主建构、形成知识网络、完善知识体系，让学过的知识能像葡萄一样串起来，即所谓“串珠成线”.比如从数轴出发，我们定义了相反数，基于这个平台又定义了绝对值，并且可以比较有理数的大小，还可以利用数轴研究符号不同的两个有理数的大小，等等.直到以后引入平面直角坐标系时，从“一维”的数轴到“二维”的平面直角坐标系，根据教学经验，如果学生对数轴上的点与数的对应理解得较为深刻，则过渡到平面直角坐标系时，往往也会有较好的适应性.

3.习题课的例题选择忌简单拿来主义，倡导精心编拟，变式拓展

听过不少习题课的随堂课，特别是跟随校领导“听随堂课”时，有些教师的作业订正课就是一种习题课，被听课者往往也自知“今天讲练习册，没什么好听的”.然而如果习题课上的例题不是简单的拿来主义，而是经过教师精心预设或原创编拟，并经过系列变式拓展，那么习题课也会有很精彩的表现.在精心编拟习题课上的例、习题时，我们有如下一些建议：首先是习题的类型不能超过课标、教材上的典型问题，而是在教材习题的基础上适当变式；接着可以先由简单的改编数字、字母出发，再变换设问方式，最后拓展生长，让高层次学生接受挑战.

4.习题课的“后半段”需要开展变式检测，反馈听课效果

习题课的教学要保证必要的练习量，除了在例题讲评环节注意让学生保持思维参与、积极运算，一个重要的教学环节就是留出10分钟左右对前面讲评环节中的例题开展变式再练.这个教学建议得益于《中学数学》（下）上相关文章中的教学建议，笔者认为，重视听课检测是十分重要的，因为学生“听懂”并不一定“会做”，特别是中下层次的学生往往误认为自己听懂就会了，其实只要稍作变式，他们还是显得很吃力.当然，预设听课检测时，也应注意保持高层次学生的积极性，这就是如上面听课检测环节那样，在最后一问设计一道挑战题，可以让高层次学生也不能在规定时间顺利挑战成功，这一方面可以促进他们深入思考、长时间思考，另一方面也是追求“这节课可以下课，但思考并不一定就停止”的教学理念.