【摘要】“授之以鱼不如授之以渔”，传授给学生学习新知识的方法和能力是课堂教学中必须思考的问题。本文以统计量及其分布为具体案例，阐述了在数理统计教学中，如何有效地引导学生利用概率论知识去学习数理统计中的新知识，培养学生解决新问题的能力。

【关键词】随机向量 统计量 分布函数

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0172-01

数理统计是随机数学范筹的一门基础课程，它主要研究如何有效地收集、分析、整理带有随机性的数据，以便对所研究得问题做出准确而精确的推断。数理统计的核心思想是由样本去推断总体的未知信息，这包括总体分布中的未知参数、总体具体的分布形式等。通过教学尝试，发现通过详细讲解某一统计问题的背景，带领学生复习所用到相关概率论知识，通过类比思想，能够使得学生容易掌握运用已有知识去分析解决新问题的能力。接下来，将围绕统计量及其分布，从以下几方面进行阐述和分析。

1.样本与随机向量

在教学过程中学生感觉总体、个体及样本的概念比较抽象，表示方法难于很快接受。在授课过程中，结合实例具体阐述这样概念，加深学生对这些基本概念的深入理解，帮助学生进入统计问题的意境中，进一步让学生领悟用概率论知识去解决统计问题，具体如下：

在数理统计中，研究对象的全体称为总体，每一个研究对象称为个体。对总体的研究总是归结对总体的某一数量指标的研究，因而通常用一个随机变量X及其分布来表示总体，从总体中抽样意味着从总体服从的某分布中抽样。从总体中抽得样本容量为n的样本，该样本可以表示为随机向量（X1，X2，……，Xn），其中每一个随机变量Xi表示个体。样本的特点是随机变量Xi，i=1，2，……，n相互独立且与总体同分布。教学过程中强调样本实质上就是一个多维的随机向量，且其中的分量相互独立、每一个分量与总体具有相同的分布。学生在此理解的基础上，很容易可以由相互独立的随机向量的分布得到样本的联合分布。

2.次序统计量分布与极值分布

极值分布在地震、水文、气象等预测问题中有着重要作用。例如，在建造大型建筑物时，要考虑到今后若干年内的地震的最大震级、最高水位、最大风压等。教学过程中发现学生对于次序统计量及其分布的理解比较困难。如果在讲授过程中将次序统计量和概率论中随机向量的极值分布相类比，教学效果将明显增加。设（X1，X2，……，Xn）为来自总体X的样本，其样本观测值从小到大排序为x（1），x（2），……，x（n），称x（i）为第i个次序统计量，若它的观测值为x（i）。将样本的最大与最小次序统计量分别记为x（n）=max{X1，X2，……，Xn}与X（1）=max{X1，X2，……，Xn}。显然，样本的最大次序统计量与最小次序统计量就相当于随机向量（X1，X2，……，Xn）的极大值与极小值，从而最大次序统计量与最小次序统计量的分布完全可以用概率论中极值分布的知识来解决。这样的分析帮助学生克服对新知识的恐惧心理，从而也更容易接受。若总体的分布函数为F（x），则最大次序统计量与最小次序统计量的分布可用总体分布的函数表示。

3.样本均值及其分布

在统计量及其分布的学习过程中，教师可以对学生进行这样的引导：统计量作为样本的函数，而样本是随机向量，所以统计量就是样本这个随机向量的函数，那么统计量的分布就可以借助于概率论中随机向量函数的分布来解决。经过这样的引导，进一步带领学生回顾求解随机向量函数分布的思想和具体做法，这样学生很快就能理解并掌握这部分知识，同时也培养了学生利用已有知识去分析新问题的能力。下面以样本均值为例来进行具体说明，样本均值作为一个重要的统计量，它常用来估计总体的均值信息，具体定义为 = Xi/n， 具有怎样的分布呢？当总体服从正态分布N（？滋，？滓2）时，由连续型的卷积公式及正态分布的性质，可得 Xi～N（n？滋，n？滓2）， ～N（？滋，？滓2/n），即 的精确分布仍为正态分布。当总体分布非正态分布或未知时，由独立同分布中心极限定理知，当样本容量n很大时， Xi的渐近分布为N（n？滋，n？滓2），从而 的渐近分布仍为正态分布，记作 ～N（？滋，？滓2/n）。

综上所述，本文以统计量及其分布中的三个知识点为例，说明了数理统计授课中，如何引导学生利用概率论知识去探索学习数理统计中的新知识，以提高学生解决新问题的能力。

参考文献：

[1]梁之舜，邓集贤，杨维权等.概率论及数理统计[M].高等教育出版社，1998.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙. 概率论及数理统计教程[M].高等教育出版社，2015.

作者简介：

杨晓丽（1979-），女，汉族，博士，陕西师范大学数学与信息科学学院，副教授，研究方向：随机动力系统。endprint