◇　山东　闫灵巧　夏佑伟

(作者单位：山东省邹城市第一中学)



多视角中反思，甄别通性通法

◇山东闫灵巧夏佑伟

一题多解是启发和引导同学们从不同的视角出发,探索不同解题思路的一种解题活动,主要目的是培养和锻炼同学们的思维,探索适应一般情形的最优化的通性通法.

在本题的分析中部分同学认为数列{an}与{bn}的公共项由an=bn求得,即4n-1=3n+2,只有1项.但通过列举出2数列的前几项：

{an}: 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,….

{bn}: 5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,….

可见,2个数列的公共项是11,23,35,47,…,易发现该数列是首项为11、公差为12的等差数列,则

cn=11+12(n-1)=12n-1.

对于上面的2个数列公共项问题,解题思路虽然自然简洁,但是作为解答题并不严谨,下面从多种视角对此题进行探究,并寻找简洁的通法.

1　选择一个数列,从整体上寻找问题突破口

设an=bm=ck,则ck=4n-1=3m+2.所以

an+1=4(n+1)-1=3m+2+4=3(m+2)∉{bn},

an+2=4(n+2)-1=3m+2+8=3(m+3)+1∉{bn},

an+3=4(n+3)-1=3m+2+12=3(m+4)+2=

bm+4∈{bn},

故ck+1=an+3,ck+1-ck=an+3-an=12,即{cn}构成公差为12的等差数列.又因为c1=a3=11,所以

cn=11+12(n-1)=12n-1.

反思1) 规范了解题步骤,再次巩固探究成果,还可将上面的解题程序推广到非等差问题的求解; 2) 本题采用直接将表达式和bn=3n+2相比较,可直接判断出该项属于数列{bn}中的某一项.当然也可以利用多元不定方程是否有整数解来判断是否为公共项; 3) 本题选择{an}进行讨论,只需讨论an+1、an+2、an+3这3项,便可找到公共项．若选择数列{bn},则需讨论bm+1、bm+2、bm+3、bm+4这4项.道理一想便知,公差越大,该数列中的公共项离得越近,因此尽量选择公差较大的数列讨论.这一原理不经亲身体验感悟不会深刻.

2　从多元不定方程视角,利用数的整除性求解

抓住数列的公共项等价于方程an=bm有解这一点,自然想到求解这个多……