王　维

(山东省曹县第三中学,274400)



○高考之窗○

品味2016年高考数列创新试题

王维

(山东省曹县第三中学,274400)

创新试题已成为近几年高考数学卷的一大亮点,特别是有关数列的创新试题,倍受高考命题专家的青睐.高考创新试题主要考查学生对数学问题的理解能力、抽象概括能力以及创新意识.创新试题通常以“新定义”为载体考查考生正确理解与运用新知识的能力,特别是能将所学知识与方法迁移到不同情境中,进而考查考生的理性思维与数学素养.本文仅以2016年全国各省市高考有关数列试题为例予以说明.

一、定义新数列创新题

例1(全国卷)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()

(A)18个(B)16个

(C)14个(D)12个

解由题意可知,必有a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3个0，3个1,且对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.

于是，可将不同的“规范01数列”列举如下:

(1)0,0,0,0,1,1,1,1;

(2)0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;

(3)0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,0,1,1,0,1,0,1;

(4)0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.

综上可知,不同的“规范01数列”共有14个,故应选C.

评注本题是一个新定义数列创新试题,解决该题的关键是对新定义数列的正确理解与应用,同时也考查分类加法计数原理.

例2(全国卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.

(1)求b1,b11,b101;

(2) 求数列{bn}的前1 000项和.

解(1)由题意，可得等差数列{an}的通项公式为an=n(过程略).于是有

b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,

b101=[lg 101]=2.

(2) 设数列{bn}的前n项和为Tn,则当0≤lg an<1时,n=1,2,3,…,9;当1≤lg an<2时,n=10,11,12,…,99;当2≤lg an<3时,n=100,101,102,…,999;当lg an=3时,n=1 000,

所以，数列{bn}的前1000项和为

T1000=b1+b2+b3+…+b1000

=0×9+1×90+2×900+3×1

=1 893.

评注本题定义一个新函数即取整函数(又称高斯函数)，应紧扣取整函数的定义,把数列{bn}的通项公式表示为分段函数的形式,进……