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一道“异题”的求解与变式

2016-11-10江苏省南京金陵中学河西分校

中学数学教学 2016年5期
关键词:位线等腰三角分校

江苏省南京金陵中学河西分校

李玉荣  (邮编:210019)



一道“异题”的求解与变式

江苏省南京金陵中学河西分校

李玉荣(邮编:210019)

近日,有网友在中学数学杂志群里晒出了这样一道题:

图1

此题被网友戏称为不知道怎么设计出来的“异题”:

一是题目给出的条件过于复杂,即使经过化简也不能确定角的度数,如果一味地想求出角,求解走入死胡同;二是怎样将所得角的关系转化为边的关系?求解的过程步履维艰.笔者并不赞同在数学试卷中这样命制填空题,但对如何由AB=5求解FO颇感兴趣,悉心研究,收获不小,撰文与大家分享.

1 求解

图2

思路1取斜边中点,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解

图3

图4

思路2构造等腰三角形,利用“等腰三角形三线合一”求解

解法3如图4,在BD上取点G使得DG=AG,则∠GAD=∠ADB=x,从而∠AGB=2x=∠ABG,所以DG=AG=AB=5,BF=FG,

即BO-FO=FO+OD-DG,

因为BO=DO,

所以2FO=DG=5,故FO=2.5.

图5

图6

思路3构造三角形中位线,利用“三角形中位线定理”求解

图7

思路4利用三角函数直接求解

2 变式

此“异题”的条件可直接弱化,得到下面两道

“贴近学生最近发展区”的适宜题目:

图8

图9

题2如图9,在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,AO为中线,过点A作AF⊥BD于点F,若AB=5,则FO的长为______.

图10

3 类比

笛卡尔曾说过:我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解决其它的问题.聪明的读者,你能用几种方法解决下面这道题?

2016-08-06)

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