胡磊

构造法是解决导数问题的重要方法之一，许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数.如何构造函数显得非常重要，下面剖析几例.

一、特征构造

例1（2016·银川二模）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x>0时，xf′（x）-f（x）<0，记a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，则（）

A. a

C. c

分析：令g（x）=f（x）x，通过求导得到g（x）的单调性，从而解决问题.

解：令g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，

∵x>0时，xf′（x）-f（x）<0，∴g（x）在（0，+∞）递减，

又log25>log24=2，1<20.2<2，0.22=0.04，

∴log25>20.2>0.22，

∴g（log25）

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了指数、对数的性质，解决本题的关键是根据所比较的三个数，合理构造函数，利用函数的单调性比较大小即可.

二、变形后构造函数

例2（2016·合肥二模）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）<2恒成立，则使x2f（x）-f（1）

A. {x|x≠±1}B. （-∞，-1）∪（1，+∞）

C. （-1，1）D. （-1，0）∪（0，1）

分析：根据已知条件构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出x>0时的取值范围，并根据偶函数的性质，求出x<0时的取值范围.

解：当x>0时，由2f（x）+xf′（x）-2<0：两边同乘以x得：

2xf（x）+x2f′（x）-2x<0.

设g（x）=x2f（x）-x2，则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-2x<0，恒成立：

∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）-f（1）

∴x2f（x）-x2

即x>1；

当x<0时，函数是偶函数，同理得：x<-1.

综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），故选：B.

点评：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并通过求导判断函数的单调性，并应用偶函数的性质，求对称区间上的解.解决本题需要注意对x的讨论.

三、移项法构造函数

例3（2016·江西模拟）设函数f（x）=ex（3x-1）-ax+a，其中a<1，若仅有一个整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（）

A. [-2e，1）B. [-2e，34）

C. [2e，34）D. [2e，1）

分析：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，对g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，解g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，求得a的取值范围.

解：设g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，则g′（x）=ex（3x+2），

∴x∈（-∞，-23），g′（x）<0，g（x）单调递减，x∈（-23，+∞），g′（x）>0，g（x）单调递增，∴x=-23，取最小值-3e-23，∴g（0）=-1<-a=h（0），

g（1）-h（1）=2e>0，直线h（x）=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，

∴g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，∴a≥2e，a<1，∴a的取值范围[2e，1）.故答案选：D.

点评：本题……