安徽省太和中学　岳　峻　韩长峰

破解直线与圆中“定”的问题

安徽省太和中学岳峻韩长峰

直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中，同学们常常找不到解题的切入点。为此，我们需弄清此类问题的实质，切实掌握其解决方法。

一、定点问题

我们对于过定点的直线系并不陌生，如y=kx是过定点O（0，0）的直线系，y=kx+b（b是常数）是过定点（0，b）的直线系，y=k（x-a）+b（a、b是常数）是过定点（a，b）的直线系，等等，那么，如何才能快速地找到直线所过的定点呢？

例1平面直角坐标系xOy中，直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0恒过一定点P，而直线mx+y-6=0也过点P，则m=_______。

解法1直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0，

整理得k（4x+3y-12）+（x-2y-3）=0，

代入直线mx+y-6=0，得m=2。

所以直线（1+4k）x-（2-3k）y-3-12k=0必过直线y=0与直线x=3的交点（3，0），显然P（3，0），代入直线mx+y-6=0，得m=2。

点评含有参数的直线Ax+By+C=0过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，把求定点问题转化为求两直线的交点问题。

变式1设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）。

答案B

例2已知圆C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k≠-1），则圆C过定点 _______。

解法1圆C的方程可变形为（x2+y2+10y+20）+k（2x+4y+10）=0，所以圆C必过x2+y2+10y+20=0与2x+4y+10=0的交点。

答案为（1，-3）。

圆C所过的定点必是曲线x2+y2+10y+20=0与x2+y2-5x-5=0的交点。

点评解决直线与圆的定点问题，要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘出曲线方程与哪些参数取值无关。常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，取特殊值求出定点，再证这个定点与参数取值无关。……