安徽省合肥一六八中学　陆勇

对『计数原理』中几个问题的分析

安徽省合肥一六八中学陆勇

“计数原理”是高中数学的重要内容之一，以“计数原理”为背景的试题来源广泛，其解题过程对思维的条理性提出了较高的要求。本文就计数原理中几个值得注意的问题进行分析。

一、关于“方法数”的理解

计数原理分为分类加法计数原理和分步乘法计数原理两种。根据教材中对两个原理的概括，我们可以认为，计数原理研究的是“完成一件事情的方法数”。何为“不同的方法”？关键要看方法之间是否有区分度：只要有区分，就是不同的方法；没有任何区分，则为同一种方法。

例1 4个小球装入3个盒子中，要求每盒均不空，则下列几种情况下各有多少种方法？

（1）球均相同，盒子均相同。

（2）球各不相同，盒子均相同。

（3）球各不相同，盒子也各不相同。

解析（1）因为4个球是相同的，3个盒子也是相同的，则仅唯一一种方法，即一个盒子装2个球，另两个盒子各装1个球。

（2）因为盒子是相同的，而球不一样，所以我们只需考虑到哪两个球同盒即可，所以有=6种方法。

（3）盒子与球均不相同，我们既要考虑哪两个球同盒，又要考虑装入哪个盒子，所以方法数为=36种。

变式在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种。

分析问题研究的是获奖情况，那么5张无奖的奖券就是没有区分度的，我们只需考虑3张有区别的奖券如何分配即可：

二、关于计数原理中的解题原则

排列与组合综合问题对思维的条理性有着较高的要求，我们在解题时，需要理解如下基本原则。……