涂朝辉　高英杰　吴凤和　刘凯磊

(①燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室，河北 秦皇岛066004；②先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室(燕山大学)，河北 秦皇岛066004)



基于模糊分数阶PID的Stewart机构的协同控制*

涂朝辉①②高英杰①②吴凤和①②刘凯磊①②

(①燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室，河北 秦皇岛066004；②先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室(燕山大学)，河北 秦皇岛066004)

针对电液驱动Stewart机构的协同控制问题，引入最小相关轴思想，采用相邻交叉耦合结构，以满足机构的多通道协同控制的要求。同时，针对机构单通道阀控缸系统参数的时变以及非线性等特征，设计了模糊分数阶PID控制器，提出了基于相邻交叉耦合结构的模糊分数阶PID控制策略，并进行了实验研究，研究结果表明该控制方法具有良好的跟踪效果，能够很好的实现机构的多通道协同控制。

Stewart机构；运动学反解；交叉耦合；模糊控制；分数阶PID

电液驱动Stewart机构具有响应快，刚度大，承载能力强，运动精度高等优点[1]，已经广泛应用于并联机床、模拟设备等诸多领域。Stewart机构由6个液压缸共同驱动动平台工作，属于多通道并联系统。目前，多通道并联闭环控制主要采用主从式控制策略以及多通道解耦控制策略。主从式控制更适用于子系统性能相近的被控对象[2]，而Stewart机构通道间存在较强的耦合[3]，使得各通道间存在较大差异，因此，主从控制并不能取得很好的控制效果。很多学者通多对Stewart机构的数学模型进行分析，得到了解耦控制规律，并针对某些工况取得了良好的控制效果[4-5]，然而由于Stewart机构动力学模型以及阀控缸模型的很多参数存在着变化，无法建立精确的数学模型，导致完整的解耦补偿规律难以确定。针对这些问题，本文基于交叉耦合控制结构，引入同步误差，使之与轨迹跟踪误差相结合用以对Stewart机构各通道进行控制。针对各通道阀控缸模型的时变和非线性等特点，为了避免对机构精确数学模型的依赖，采用模糊控制与分数阶PID控制相结合的控制方式，实现了Stewart机构的多通道协同控制。通过实验验证了该控制策略对提高Stewart机构控制精度的有效性。

1　电液驱动Stewart机构模型

本文研究的Stewart机构样机如图1a所示，机构每个支链由液压缸构成一个移动副，两端分别通过球铰与虎克铰与上、下平台连接，机构的下平台与地面固联，上平台为动平台，通过控制液压缸运动实现动平台的空间位姿变化。

在机构的上、下平台中心分别建立坐标系，如图1c、d所示，A1～A6为上平台铰点，以ψ为夹角两两一组均匀分布在o′x′y′平面内以o′为圆心半径为的r圆上，B1～B6为下平台铰点，以ψ为夹角两两一组均匀分布在oxy平面内以o为圆心半径为R的圆上，li(i=1～6)表示第i条运动支链的长度。

铰点Ai(i=1～6)在坐标系o′x′y′z′中坐标可以表示为：

(1)

铰点Bi(i=1～6)在坐标系oxyz中坐标可以表示为：

(2)

2　Stewart机构的位置反解

根据坐标变换公式，可以求解出铰点Ai在定坐标系oxyz中的坐标：

TAi=TAi+P

(3)

式(3)中，TAi、P为3×1矩阵，TAi表示铰点Ai在定坐标系中的坐标，P表示动坐标系原点在参考系中的坐标。T为3×3矩阵，表示动平台的方向余弦。根据Ai、Bi在定坐标系oxyz中的坐标值，可以很容易计算出每条支链液压缸的位移：

(4)

式(4)中，lix、liy、liz为铰点Ai、Bi在定坐标系中的3个坐标值的差值。

根据指定工况下的Stewart机构动平台的目标运动轨迹与机构参数，编写反解程序，可以对机构进行反解，得到机构6个通道的输入轨迹。

3　模糊分数阶PID协同控制策略

3.1相邻交叉耦合控制结构

电液驱动Stewart机构单通道阀控缸系统构成如图2所示，在此系统中，电液伺服阀控制对应通道的液压缸，各通道液压缸的位移通过位移传感器检测，并与给定的输入信号比较，通过系统输入跟随系统输出。

(5)

依据最小相关轴思想，采用相邻交叉耦合控制结构[7]，即在对每条通道进行控制的同时，考虑相邻两通道的影响，定义第i通道与相邻两通道的同步误差分别为：

(6)

(7)

式(6)、(7)中， i=1～6，当i=1时，i-1=6；当i=6时，i+1=1。

在对每个通道的阀控缸进行控制的同时，需要保证跟踪误差与同步误差同时收敛于零，本文采用交叉耦合控制结构，如图3所示。由图3可以看出，每个通道都需要包含一个误差跟踪控制器以及两个同步误差控制器，因此第i通道的阀控缸位移输入量为：

(8)

3.2模糊分数阶PID控制器

由于各个通道阀控缸动态特性不同，在控制过程中存在参数时变、非线性环节等。为了避免对精准数学模型的依赖，本文将模糊控制思想与分数阶PID控制相结合，设计了模糊分数阶PID控制器。

分数阶PID是传统PID的广义化形式，它包含一个积分阶次λ和微分阶次μ，λ和μ可以取(0,2)范围内的任意实数，通过合理选择控制参数，可以更好的调节控制器的动态特性。其传递函数为[8]：

(9)

分数阶PID在时域内的输出表达式为：

(10)

对式(10)进行离散化处理，分数阶PID的离散化形式为：

(11)

式(11)中，h为采样周期，qn和dn为积分算子和微分算子，可用递推公式(12)和(13)计算。

(12)

(13)

在分数阶PID的基础上，增加模糊规则，设计模糊分数阶PID控制器，如图4所示。以误差eij和误差变化率ecij作为输入，对分数阶PID控制器的五个参数进行在线自整定，使分数阶PID获得新的参数，进而对输入误差eij进行控制。

定义描述输入变量与输出变量的语言模糊子集{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}={负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}，各变量的隶属度函数均取三角形分布，如图5所示。通过总结专家经验[9]，制定模糊控制规则表如表1所示。

根据公式(14)，完成分数阶PID的参数整定：

(14)

式(14)中，KP0、KI0、KD0、λ0、μ0为控制器的初始值，ΔKP、ΔKI、ΔKD、Δλ0和Δμ0为由模糊算法得到的输出变量。

将整定后的参数代入公式(11)中，就可以得到单个控制器的输出量uij，根据公式(8)进一步计算，对每个通道的控制器进行综合，可以得到各个通道阀控缸信号输入量ui。

4　实验验证

Stewart机构单通道性能是机构整体控制性能的重要保证，因此首先对单通道的性能及控制方法进行实验研究。

图6为单通道阶跃信号的实验曲线，从图中可以看出，分数阶PID与传统PID控制相比，超调量略有减小，且系统很快进入稳定状态，模糊分数阶PID与分数阶PID相比，超调量明显减小，虽然对系统的上升时间产生一定影响，但影响程度有限。整体而言，在模糊分数阶PID控制器的作用下，单通道系统具有良好的控制性能。

表1模糊规则表

ΔKP/ΔKI/ΔKD/λ/μeijNBNMNSZOPSPMPBecijNBPB/NB/PS/PB/NSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PB/ZOPM/NM/NB/PM/ZOPS/NS/NB/PM/ZOZO/ZO/NM/ZO/NBZO/ZO/PS/ZO/NBNMPB/NB/PS/PB/PSPB/NB/NS/PB/PSPM/NM/NB/PM/PSPS/NS/NM/PM/PSPS/NS/NM/PS/ZOZO/ZO/NS/ZO/NSNS/ZO/ZO/ZO/NMNSPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PM/PBPM/NS/NM/PS/PMPM/NS/NM/PS/PSZO/ZO/NS/ZO/ZONS/PS/NS/NS/NSNS/PS/ZO/NS/NMZOPM/NM/ZO/PM/PBPM/NM/NS/PS/PMPS/NS/NS/PS/PMZO/ZO/NS/ZO/PSNS/PS/NS/NS/ZONM/PM/NS/NS/NSNM/PM/ZO/NM/NMPSPS/NM/ZO/PS/PBPS/NS/ZO/PS/PMZO/ZO/ZO/ZO/PSNS/PS/ZO/NS/PSNS/PS/ZO/NS/ZONM/PM/ZO/NM/NSNM/PB/ZO/NM/NSPMPS/ZO/PB/ZO/PMZO/ZO/PS/ZO/PSNS/PS/PS/NS/PSNM/PS/PS/NM/PSNM/PM/PS/NM/ZONM/PB/PS/NB/NSNB/PB/PB/NB/NSPBZO/ZO/PB/ZO/NSZO/ZO/PM/ZO/ZONM/PS/PM/NS/ZONM/PM/PM/NM/ZONM/PM/PS/NB/ZONB/PB/PN/NB/NBNB/PB/PB/NB/NB

Stewart机构动平台的六自由度运动中，在绕o′x′轴做旋转运动工况下，6个通道的控制信号与运动轨迹各不相同，耦合最为严重。本文针对该自由度运动进行实验,令动平台以幅值为5°、周期为10 s的正弦运动为目标轨迹，即动平台的方向余弦矩阵为：

(15)

Stewart机构样机初始位置(0,0,1900)，机构参数如表2所示，结合公式(15)与公式(1)～(4)，可以完成Stewart机构的反解，进行机构的协同控制。

表2机构参数表

参数数值Stewart机构下平台半径R/mm1050Stewart机构上平台半径r/mm1020Stewart通道间夹角ψ/radπ/12

图7为基于不同控制结构的模糊分数阶PID控制器作用下的机构动平台响应曲线，从图中可以看出，系统在跟踪目标轨迹的过程中，在主从结构控制器下的响应曲线与在交叉耦合结构控制器下的响应曲线有明显区别。

图7a、b表明，采用交叉耦合控制结构，系统运动过程中的相位滞后与峰值处的误差有明显的改善。此外，由图7c～f可以看出，由于机构瞬间耦合所造成的其他自由度方向的牵连运动也明显减小。因此，基于交叉耦合结构的模糊分数阶PID控制器可以很好地协调机构复杂的耦合关系。

5　结语

针对电液驱动Stewart机构，根据并联机构反解方法，将机构动平台运动的控制问题分解成为机构6个通道的协同控制问题。采用同步误差与跟踪误差相结合的方法描述机构的协同控制精度，从Stewart机构各通道运动的同步性出发，提出了相邻交叉耦合控制结构，并在此结构的基础上，采用模糊分数阶PID控制器对各通道的误差进行补偿。实现了对机构上平台运动的跟踪控制。通过实验与其它几种控制策略比较，该控制策略更适用于具有强力耦合与精确模型难以确定的复杂系统。

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Cooperative control for Stewart mechanism based on fuzzy fractional order PID

TU Zhaohui①②, GAO Yingjie①②, WU Fenghe①②, LIU KaiLei①②

(①Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University,Qinhuangdao 066004, CHN; ②Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science(Yanshan University), Ministry of Education of China, Qinhuangdao 066004, CHN)

As to the coordination control of electro-hydraulic Stewart mechanism, it applies minimum correlative axis theory and adjacent cross coupling structure, in order to meet the requirements of the mechanism’s multichannel coordination control. Meanwhile, considering the features such as alteration over time and nonlinearity of system parameters of the single channel valve-controlled cylinder, it designs a PID controller of obscure fractional order. It makes the obscure fractional order PID controlling strategy based on adjacent cross coupling structure. Besides, it carries out experimental studies, and the results show that the controlling method has fine tracking effects and coordination controls of the mechanism.

Stewart mechanism; inverse kinematic solution; cross coupling; fuzzy control; fractional order PID

TP242

A

10.19287/j.cnki.1005-2402.2016.10.011

涂朝辉，男，1984年生，博士研究生，主要研究方向为电液系统的智能控制。

�静)(

2016-07-05)

161015

*国家自然科学基金资助项目(50875228)