石　荣，李　潇，邓　科

(电子信息控制重点实验室，四川 成都 610036)



数字干涉仪时域频域鉴相性能对比的理论分析

石荣，李潇，邓科

(电子信息控制重点实验室，四川 成都 610036)

基于数字干涉仪中鉴相性能理论分析研究的需要，在对其工作原理简要概述的基础上，分别构建了时域和频域鉴相的数学模型，其中的时域鉴相模型同时也反映出与双通道互相关处理的等价性。通过鉴相误差的理论分析，结果表明：2种鉴相方法对干涉仪通道间相位差的估计都具有无偏性；但频域鉴相相对于时域鉴相，其误差的方差更小，在低信噪比条件下这一特点表现尤为明显。理论分析结果与仿真结果完全吻合，从而在理论上证明了频域鉴相的性能优于时域鉴相，也说明了频域鉴相性能优于通道间的互相关处理。

数字干涉仪；时域鉴相；互相关处理；频域鉴相；鉴相性能

0　引言

干涉仪是电子侦察中辐射源来波方向测量的常用设备[1]，不仅可以对雷达信号实施测向[2]，同时也用于通信信号的测向[3]，并以此为基础来实现对辐射源目标的无源定位[4]。随着数字化技术的不断发展，近年来数字式干涉仪(简称数字干涉仪)也逐渐替代了模拟体制干涉仪，并成为关注的重点。文献[5-7]介绍了数字干涉仪的鉴相算法及工程实现；文献[8]讨论了数字干涉仪的基线设计方法；文献[9]分析了数字干涉仪的测向范围；文献[10-12]阐述了数字干涉仪在电子侦察定位中的各种应用方式。由此可见数字干涉仪已在电子战中广泛使用，并成为侦察测向的标配设备。

实际上当干涉仪的基线设计一旦确定之后，干涉仪通道间相位差测量的精度将直接决定干涉仪的测向精度，所以数字干涉仪中的数字鉴相方法受到了重点关注。目前主要有2种类型：时域鉴相和频域鉴相。在当前的工程项目中这2种方法都在不同的场合中使用，但是这2种方法的鉴相精度是各不相同的。文献[5]通过大量的仿真试验数据表明：频域鉴相的精度优于时域鉴相的精度；但并没有从理论上给予分析与论证，这对于深入理解不同方法产生鉴相精度差异的原因，以及相关的理论模型构建和工程实际应用的指导带来了不便。

针对这一问题，本文在简要介绍数字干涉仪的工作原理之后，建立了时域鉴相与频域鉴相的数学模型，利用此模型对这2种数字鉴相方法所产生的误差给予了理论公式推导，在鉴相性能对比分析的基础上，从理论上揭示了频域方法的鉴相精度优于时域方法的根本原因，最后再次通过仿真验证了理论分析的有效性。

1　数字干涉仪工作原理

单基线数字干涉仪的工作原理如图1所示。

图1　单基线数字干涉仪的工作原理

图1中，干涉仪天线单元A1,A2之间的距离为d，辐射源目标信号的来波方向与天线阵法向之间的夹角为θ，两天线接收到的信号经过2路幅相一致性的前端及下变频通道之后，在中频进行数字化AD采样成为数字信号。经过数字鉴相后得到干涉仪两通道间来波信号的相位差为φ，于是可得如下的测向方程：

(1)

由式(1)可知，在干涉仪基线长度确定的条件下，干涉仪的测向精度完全由通道间的相位差测量精度决定，而相位差测量精度在很大程度上又由数字鉴相环节所影响。目前在数字干涉仪中有2种主要的鉴相方法：时域鉴相和频域鉴相。

2　时域与频域鉴相模型

假设与干涉仪天线A1,A2相连的接收通道中加性噪声互不相关，于是两接收通道在中频处的信号可表示成数字解析信号形式如下：xA1(n)=A·exp(j2πfc(n-τ))+

(2)

xA2(n)=A·exp(j2πfcn)+

(3)

式中，A,B分别表示信号与噪声分量的幅度；fc表示数字采样条件下的信号载波频率，在本模型中为已知；nA,c(n)，nA,s(n)，nB,c(n)，nB,s(n)分别表示通道A1,A2中的噪声，其中每一个噪声分量的采样值都可建模为一个均值为0，方差为1的高斯噪声随机变量；τ表示采样条件下2路信号之间的等效时延点数，从时延角度分析可得[13]：

τ=(d·sinθ/c)·fs。

(4)

式中，c表示电磁波传播的速度；fs表示采样频率。于是两通道间的相位差φ也可表示为：

φ=-2πfcτ。

(5)

2.1时域鉴相模型与时域互相关的等价性

A2exp(-j2πfcτ)=A2exp(jφ)。

(6)

(7)

式中，N2(n)表示通道噪声的影响，可具体表示为：

N2(n)=ABexp(j2πfc(n-τ))·

ABexp(-j2πfcn)·

(8)

为了消除噪声的影响，时域鉴相的第2步就是做累积平均，设采样处理的信号长度为M，于是最终得到的时域鉴相的相位差估计函数Φ3(n)为：

(9)

且有

(10)

但在工程实际应用中，采样点数M的大小一般是有限的，所以在后续的性能对比中也会在采样点数M给定的条件下进行理论分析。

2.2频域鉴相模型

数字干涉仪频域鉴相过程中首先分别将两通道的M个采样数据通过离散傅里叶变换(DFT)转换到频域。本文中所采用的DFT的定义式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，angle(•)表示取相位，由于

(17)

3　鉴相性能的对比

前面推导的2种数字干涉仪的鉴相模型，无论是时域鉴相模型，还是频域鉴相模型，所得到的估计量都是对干涉仪通道间相位差φ的无偏估计量，即估计误差的均值为0。但2种方法所得到的估计误差的方差各不相同。下面在相同采样数据长度M的条件下，来对比2种方法的鉴相性能。

时域鉴相的相位求解表达式为式(9)，其中信号分量的模值为A2；频域鉴相的相位求解表达式为式(16)，其中信号分量的模值为A。因为2种模型最后都是通过一个综合性矢量的相位来获得估计值，所以在性能对比时需要将2种方法在鉴相时的噪声分量相对于信号分量进行归一化处理，于是时域鉴相归一化噪声分量Nt与频域鉴相归一化噪声分量Nf分别为：

(18)

(19)

经过归一化处理之后，二者的信号分量都成为单位1。根据前面的分析，Nt与Nf的均值都为0，于是通过计算此时Nt与Nf的方差来反映鉴相性能的好坏。方差越小，性能越好。

2B2/(MA2)+B4/(MA4)。

(20)

(21)

(22)

即时域鉴相误差的方差始终大于频域鉴相误差的方差，即频域鉴相的性能更好。

对比式(20)和式(21)还可以发现，在采样数据长度M保持一定的条件下，B相对于A越大，时域鉴相误差的方差越大，这说明信噪比SNR越低，时域鉴相精度相对于频域鉴相精度也就越差。

由于鉴相运算的值域范围被限制在(-π,π]，超出这一范围将发生相位折叠，所以在信噪比过低条件下，将发生鉴相失效的现象，即鉴相误差急剧增加。鉴相失效时的信噪比又称为临界点信噪比，所以式(20)与式(21)所表示的鉴相误差的方差是在临界点信噪比以上时才成立，这一点需要在实际应用中注意。

4　仿真验证

仿真信号按照式(2)与式(3)来构建，两通道的初始相位分别为π/3与π/10，显然通道间的相位差准确值为7/30π，通过不同的B/A条件下的多次蒙特卡罗仿真来统计时域鉴相与频域鉴相中归一化误差的方差，其中数据长度M=1×105。所得到的仿真试验结果与时域鉴相、频域鉴相这2种方法中归一化噪声分量方差的理论分析结果式(20)与式(21)进行对比。

频域鉴相与时域鉴相的仿真试验曲线与理论分析曲线如图2与图3所示。

图2　频域鉴相噪声分量方差的理论与仿真曲线对比

图3　时域鉴相噪声分量方差的理论与仿真曲线对比

为了在更宽的范围内来展示结果，所以图2和图3中横坐标采用对数坐标，单位为dB；纵坐标为归一化噪声分量的方差。

在图2和图3中实线为理论曲线，虚线为仿真曲线，实线与虚线几乎重合在一起，即理论曲线与仿真曲线完全吻合，从而说明了前面理论分析的有效性和正确性；另一方面对比图2与图3可知，在相同的B/A条件下，时域鉴相噪声分量方差始终高于频域鉴相噪声分量方差，这也说明时域鉴相方法所受到的噪声的影响更严重。

为了更加明确地展示这一特点，下面在不同的B/A条件下，通过多次蒙特卡罗仿真来统计时域鉴相与频域鉴相所得到的干涉仪通道间的相位差误差的方差曲线如图4所示。图4中实线为时域鉴相曲线，虚线为频域鉴相曲线。

图4　时域与频域鉴相所得相位差误差的方差曲线

此处需要说明的是：上述仿真数据是在数据长度M=1×105的条件下得到的，当数据长度改变时，噪声分量方差和鉴相所得的相位差误差的方差的具体数字都会发生变化。但是式(20)与式(21)给出的结果，以及频域鉴相的性能优于时域鉴相这一结果是不会改变的。

5　结束语

到目前为止，虽然已经有文献通过仿真试验和数据统计的方式表明：在电子侦察的数字干涉仪测向应用中，频域鉴相的精度高于时域鉴相，但是并没有从理论上给予进一步的分析与证明。针对这一情况，本文分别建立了数字干涉仪的时域鉴相模型与频域鉴相模型，对2种鉴相方法的鉴相误差进行了理论分析，展示了2种方法对于通道间相位差估计的无偏性。通过二者的对比可知：在相同的采样数据长度的条件下，频域鉴相误差的方差比时域鉴相更小，这就从理论上解释了仿真试验所得到的结果；另一方面，在这一过程也揭示了时域鉴相与双通道间互相关接收处理的等价性，所以这也同时表明：频域鉴相方法同样优于通道间互相关处理方法。上述理论分析过程与相关理论推导结果为数字干涉仪的工程应用设计与理论模型研究提供了重要参考。

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石荣男，(1989—)，博士，研究员。主要研究方向：电子对抗，通信、导航与雷达系统等。

李潇女，(1993—)，硕士研究生。主要研究方向：电子对抗。

Theoretical Analysis on Performance Comparison of Phase Discrimination in Time Domain and Frequency Domain for Digital Interferometer

SHI Rong，LI Xiao，DENG Ke

(ScienceandTechnologyonElectronicInformationControlLaboratory，ChengduSichuan610036，China)

The theoretical analysis and research on performance of phase discrimination for digital interferometer are very necessary.After its working principle is briefly introduced，the mathematic models for phase discrimination in time domain and frequency domain are established respectively.The equivalence between phase discrimination in time domain and cross correlation of two channels can be found easily.The theoretical analysis on the error of phase discrimination has shown that both methods provide non-bias estimations for phase difference between channels，but the error variance of phase discrimination in frequency domain is much less than that of the time domain.This characteristic is more obvious in condition of small SNR (Signal to Noise power Ratio).The theoretical analysis completely fits the simulation.It is theoretically proved that the performance of phase discrimination in frequency domain is much better than that of time domain，and it is also better than that of cross correlation processing of two channels.

digital interferometer；phase discrimination in time domain；cross correlation processing；phase discrimination in frequency domain；performance of phase discrimination

10.3969/j.issn.1003-3106.2016.10.06

2016-06-28基金项目：总装共用技术基金资助项目(91X0A210XXX1XDZ390XX)。

TN971

A

1003-3106(2016)10-0024-05

引用格式：石荣，李潇，邓科.数字干涉仪时域频域鉴相性能对比的理论分析[J].无线电工程,2016,46(10):24-28.