□左效平

全等之后见精彩

□左效平

全等三角形既是独立的数学知识，也是重要的学习工具，如能灵活应用这一强有力的数学工具，将会充分享受三角形全等后带来的精彩，真正领悟数学的魅力，感悟数学的奇妙.

一、全等后辨析结论正误

例1如图1，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下列四个结论：

①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF.

其中正确的结论共有（）.

图1

A.4个B.3个

C.2个D.1个

分析：由BF∥AC，得∠C=∠CBF，因为BC平分∠ABF，所以∠ABC=∠CBF，所以∠C=∠ABC，所以AB= AC，因为AD是△ABC的角平分线，所以BD=CD，AD⊥BC，②③正确.

在△CDE与△DBF中，

所以△CDE≌△BDF，

所以DE=DF，CE=BF，

结论①正确.

因为AE=2BF，所以AC=3BF，

④正确.

解：选A.

二、全等后证明线段相等

例2如图2，已知点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD.求证：AD=CE.

图2

分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD= CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论.

证明：如图2所示，作DG∥BC交AC于G，则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB.因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形，所以DG=AD.

因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF.

在△DGF和△ECF中，

所以△DGF≌△ECF，

所以CE=GD.

因为GD=AD，所以AD=CE.

三、全等后判定三角形的形状，探求生成新角的度数

例3已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC.

（1）如图3，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

图3

（2）如图4，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.

图4

分析：（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC及∠FDA=∠DCB，即可判断三角形的形状.

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF、CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°.

解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：

因为AF⊥AD，∠ABC=90°，

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD与△DBC中，

所以△FAD≌△DBC（SAS），

所以FD=DC，∠FDA=∠DCB.

因为∠BDC+∠DCB=90°，

所以∠BDC+∠FDA=90°，

所以△CDF是等腰直角三角形.

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF、CF，如图4.

因为AF⊥AD，∠ABC=90°，

所以∠FAD=∠DBC=90°.

在△FAD与△DBC中，

所以△FAD≌△DBC（SAS），

所以FD=DC，∠FDA=∠DCB.

因为∠BDC+∠DCB=90°，

所以∠BDC+∠FDA=90°，

所以△CDF是等腰直角三角形，

∠FCD=45°.

因为AF∥CE，

所以∠FAC=∠ECA.

因为CE=BD，BD=AF，

所以AF=CE.

在△FAC与△EAC中，

所以△FAC≌△ECA，

所以∠FCA=∠EAC，

所以AE∥CF，

所以∠ADP=∠FCD=45°.

四、全等后判定两线的位置、数量关系

例4如图5，已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论.

图5

分析：（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE.

（2）证明△ADE≌△ECA，AC= DE，结合AB=AC，得证AB=DE；证明∠ABC=∠ACB=∠EDC，可证明AB∥DE.

证明：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACD，因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC.

因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°.

在△ABD和△CAE中，

所以△ABD≌△CAE（AAS）.

（2）AB=DE且AB∥DE.

理由如下：连接DE，因为AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°.

由（1）知△ABD≌△CAE，

所以AD=CE，

在△ADE和△ECA中，

所以△ADE≌△ECA，

所以DE=AC，

因为AB=AC，所以DE=AB.

因为△ADE≌△ECA，

所以∠ADE=∠ACE，

所以∠EDC=∠ACB，

所以∠EDC=∠B，

所以AB∥DE.

所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.