□安义人

巧用三角形的外角

□安义人

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.解答一些与三角形的角有关的问题时，别忘了灵活运用三角形的外角.

一、与角有关的求值问题

例1如图1，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于G，∠ACD=110°，∠AGF=20°，试求∠B的度数.

图1

分析：显见∠ACD=∠B+∠BAC.又∠ACD=110°，那么要求∠B的度数，关键在于确定∠BAC的度数.

解：因为CE平分∠ACD，

∠ACD=110°，

因为FG∥CE，

所以∠F=∠ACE=55°.

又∠AGF=20°，

所以∠BAC=∠F+∠AGF=75°.

因为∠ACD=∠B+∠BAC，

所以∠B=∠ACD-∠BAC=35°.

二、与角有关的证明问题

例2如图2，点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点.求

图2

分析：显见∠A=∠ACE-∠ABC，∠P=∠PCE-∠PBC.要证明∠P=∠A，那么只要证明∠PCE-∠PBC=（∠ACE-∠ABC）就可以了.

证明：因为CP、BP分别平分∠ACE、∠ABC，

因为∠PCE=∠P+∠PBC，

所以∠P=∠PCE-∠PBC

因为∠ACE=∠A+∠ABC，

所以∠ACE-∠ABC=∠A.

三、与角有关的探索问题

例3如图3，△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D.

（1）请探索∠EFD与∠B、∠C的数量关系；

（2）如图4，当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中探索的结论是否还成立？如果不成立，∠EFD与∠B、∠C又有怎样的数量关系，请说明理由.

图3

图4

分析：无论是图3，还是图4，都有∠FDE=90°，那么∠EFD=90°-∠DEF.要探索∠EFD与∠B、∠C的数量关系，应考虑将∠DEF转化，看看能否用∠B、∠C的代数式表示.

因为FD⊥BC，

所以∠FDE=90°，

∠EFD=90°-∠DEF.

因为AE平分∠BAC，

∠BAC=180°-（∠B+∠C），

所以∠DEF=∠B+∠BAE

（2）成立.证明思路与（1）类似.