马烁

(荆州理工职业学院基础课部， 湖北 荆州 434000)

梁向

(荆州市沙市第一中学， 湖北 荆州 434000)



基于方向导数的多元函数极值的判定

马烁

(荆州理工职业学院基础课部， 湖北 荆州 434000)

梁向

(荆州市沙市第一中学， 湖北 荆州 434000)

首先给出一阶方向导数和二阶方向导数的定义及其与偏导数的关系，然后利用方向导数给出了判断二元函数在驻点或偏导数不存在的点处是否取得极值的2个充分条件。实例分析结果表明，利用方向导数来判断驻点或不可导是否为极值点是有效的。

方向导数；二元函数；极值；判别法

函数的极值不仅是函数性态的重要特征，而且在实际中有广泛应用。一般的教材[1,2]上都是利用二阶连续偏导数来判断驻点是否为多元数的极值，但是对于多元函数的不可导点，这一方法就失效了。文献[3～8]利用高阶偏导数或实二次型的理论求解多元函数的极值，但比较繁琐。下面，笔者利用方向导数给出判断多元函数的驻点或不可导点处是否为极值的条件及求法。

1　方向导数及其与偏导数的关系

定义1[1]设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某个邻域内有定义，l是从P(x0,y0)出发沿方向el=(cosα,cosβ)的一条射线,在l上任取一点P(x,y)，有x=x0+tcosα，y=y0+tcosβ(t≥0),如果极限：

定理1[2]如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(cosα,cosβ)的方向导数都存在,且有：

(1)

式(1)表示为(x,y)的一个函数，称为方向导函数，简称方向导数。

对于方向导函数式(1)，可以求关于方向l(cosα,cosβ)的方向导数。

定义2设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某个邻域内沿l(cosα,cosβ)的方向导数存在，对于l(cosα,cosβ)，如果极限：