熊骏

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)



拉格朗日中值定理反问题存在性及存在不可导点的相关结论探讨

熊骏

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

从几何意义出发研究拉格朗日中值定理的反问题，得到了拉格朗日中值定理反问题的2个存在性结论。此外，还探讨了函数有不可导点情形下拉格朗日中值定理的相关结论，丰富了拉格朗日中值定理的结果。

拉格朗日中值定理;反问题;不可导点

拉格朗日中值定理[1～5]是微分中值定理的核心，在数学分析的理论及应用中有很重要的作用。拉格朗日中值定理具体表述如下：

若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得:

其几何意义是在曲线L：y=f(x)上存在点P(ξ,f(ξ)),曲线在该点的切线的斜率等于曲线上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))确定直线AB的斜率。

为此,笔者考虑增强函数f(x)的条件,使得上述拉格朗日中值定理反问题的存在性成立。另外，还考虑了若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)有不可导点的情形下拉格朗日中值定理的相关结论。

1　拉格朗日中值定理反问题的2个存在性结论

定理1设函数f(x)在[a,b]上二次可导，且f″(x)≠0(x∈[a,b]),则对任意的ξ∈(a,b)，存在c∈[a,b]，使得:

或

证明因f″(x)≠0(x∈[a,b])，由导数的介值定理可知，f″(x)(x∈[a,b])不可能变号，不妨设f″(x)>0(x∈[a,b])，于是f′(x)在[a,b]上严格单调递增。因此，对任意的ξ∈(a,b)，有:

f′(a)

由定理1的证明中,二阶导数的作用可以适当减弱条件为f′(x)在[a,b]上严格单调，从而得到如下推论。

推论1设函数f′(x)在[a,b]上严格单调，则对∀ξ∈(a,b)存在c∈[a,b]，使得；

或：

定理2设函数f(x)在[a,b]上二次可导，则对∀ξ∈(a,b),若f″(ξ)≠0，存在x1,x2∈(a,b)，使得x1<ξ

证明不妨设f″(ξ)>0,由极限的局部保号性知，存在ξ的某邻域，在该邻域内f′(x)单调递增。即存……