康厚军，解维东，郭铁丁

(湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙　410082)



CFRP索斜拉梁面内自由振动建模及参数分析

康厚军†，解维东，郭铁丁

(湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙410082)

利用张紧弦和欧拉梁振动理论分别描述斜拉梁结构中索与梁的振动，通过索梁连接处的动态平衡条件，建立斜拉梁平面内自由振动理论.利用传递矩阵法和边界条件对斜拉梁结构平面内自由振动的特征值问题进行求解.同时，建立斜拉梁的有限元模型，有限元法所得结果与本文理论研究非常吻合，证明了本文理论和方法的正确性.最后对CFRP索斜拉梁平面内自由振动进行参数分析.研究表明,CFRP索斜拉梁的基本动力学性能优于传统钢索斜拉梁.

CFRP索；斜拉梁；传递矩阵法；振动分析；频率；振型

碳纤维增强复合材料(Carbon Fiber Reinforced Polymer，简称CFRP)是由多股连续有机纤维丝在惰性气体中经高温炭化，并经拉挤成型技术和必要的表面处理而形成的一种新型复合材料.采用CFRP制成的拉索具有耐腐蚀性强、自重轻(仅为钢材的1/5左右)、强度高(钢材的8～10倍，弹性模量最高可达1 000 GPa，抗拉强度可达2 700 MPa[1])、抗疲劳性能好等优点，相比传统钢拉索优势明显,因此，CFRP斜拉索将有很好的应用前景.目前，国内外学者已从理论上证明了CFRP索相对于钢索的静动力特性有不同程度的改善[2-4]，CFRP索也已投入实际应用[5-6].截至目前国内外已建成CFRP索斜拉桥6座，其进一步的应用研究和基础研究已成为国内外研究的一个热点.我国已成功采用CFRP拉索替换钢拉索建造试验性质的人行斜拉桥[5]，未来斜拉桥也有采用CFRP拉索的趋势，尤其是对于特大跨径桥梁，CFRP索将具有足够的优势.然而，我国对于CFRP的研究还主要集中在应用加固方面，作为大跨度柔性结构，其动力学问题比较突出，相关研究却很少见到.

斜拉梁结构由于其良好的受力性能和优美的外观被广泛应用于土木工程和海洋工程，如斜拉桥、房屋建筑中的雨棚、塔吊以及桅杆结构等.由于斜拉梁中索和梁2种结构单元有着很大的力学差异，特别是索跟梁的耦合，历来是国内外学者研究的重点和难点.Fung[7]通过Hamilton原理和有限元法推导出的非线性时变微分方程研究了斜拉梁中索的长度和张力随时间变化的振动问题.Gattulli等人[8-9]通过经典变分公式得到了斜拉梁横向振动的运动控制方程，将其与有限元方法和试验进行对比，并考虑了面内和面外的振动；赵跃宇等人[10]利用索-梁组合结构的连接条件和边界条件，建立了索-梁组合结构的约化运动学控制方程，利用Galerkin模态截断得到了该系统的多模态离散动力学方程；Wang等人[11]通过Halmilton原理得到索梁组合结构的动力学运动方程，通过边界和连续性条件以及分离变量法，得到结构的频率方程和相应的振型表达式，并对固有频率进行了讨论.这些研究工作都只考虑了梁的横向振动，没有考虑纵向振动问题，并且在索梁连接条件的处理上各不相同，存在较大的局限性.

传递矩阵法(Transfer Matrix Method，简称TMM)是20世纪20年代建立起来的一种用矩阵来描述多输入多输出的线性系统的输出与输入之间关系的方法.相比于有限元方法，该方法计算精度不随划分段数而改变，许多学者和工程技术人员将传递矩阵法应用于解决工程实际问题，例如Kang和Wang等人[12-14]用传递矩阵法来研究索-拱结构和悬索桥的动力学问题.

针对以上问题和方法，本文将同时考虑索和梁的纵横向振动，利用张紧弦和欧拉梁振动微分方程，在索梁结合处考虑它们的动态平衡并将索端和梁端内力和纵横向位移进行耦合，利用传递矩阵法求解系统振动的特征值问题.为了验证本文中索梁理论和传递矩阵法运用的正确性，我们将建立斜拉梁的有限元模型，对本文理论研究和有限元法结果进行对比，对本文的理论和求解方法进行验证.最后将对CFRP索斜拉梁的特征值问题进行参数分析，同时和传统钢索斜拉梁进行对比研究.

1　斜拉梁动力学模型

本文所研究的斜拉梁模型如图1所示，其中斜拉索初始轴力为N0，α为拉索倾角，vc,Qc,uc和Nc分别为拉索横向振动时的动态位移、剪力、纵向振动时的动态位移和轴力，vb,Qb,ub和Nb分别为梁横向振动时的动态位移、剪力、纵向振动时的动态位移和轴力.为了使梁在斜拉索初始应力的作用下仍能保持水平，在斜拉梁右端部施加竖直向下的力f0=N0sin α，在工程实际中为了保持梁水平通常用梁的自重来平衡拉索初始应力的分力或设置预拱度.

图1　斜拉梁简化模型

众所周知，对于斜拉梁结构内的斜拉索，用一根张紧的弦来描述即可满足工程实际，特别是CFRP索，即使跨径非常大、应力非常小，等效弹性模量和切线模量差别也很小[2].因此本文将利用一根张紧的弦来模拟拉索，不考虑垂度的影响.斜拉梁面内自由振动，同样不考虑垂度.可将斜拉梁的振动分解为4种振动：索的纵向振动和横向振动、梁的纵向振动和横向振动.

对于索，其纵横向振动微分方程分别为[15-16]：

(1)

(2)

梁的纵向振动微分方程与拉索一致，但横向振动应该考虑拉索的初始轴力N0对其影响，所以应该用包含轴力影响的梁的弯曲振动理论，其纵横向振动微分方程分别为[15]：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Uc(x),Ub(x)分别为索和梁的纵向振动振型函数;Vc(x),Vb(x)分别为索和梁的横向振动振型函数.通过求解偏微分方程(1)～(4)可以得到Uc(x),Ub(x),Vc(x)和Vb(x)通解形式为：

Uc(xc)=C1sin (βcxc)+C2cos (βcxc),

(7)

Vc(xc)=C3sin (δcxc)+C4cos (δcxc),

(8)

Ub(xb)=C5sin (βbxb)+C6cos (βbxb),

(9)

Vb(xb)=C7cos (δbxb)+C8sin (δbxb)+

C9sinh(εbxb)+C10cosh(εbxb).

(10)

式中：Ci(i=1,2,…,10)为实常数系数；

根据力-位移关系，由式(7)～(10)可推导出轴力N,转角θ,弯矩M和剪力Q的表达式：

Nc(xc)=C1EcAcβccos (βcxc)-

C2EcAcβcsin (βcxc);

(11)

Qc(xc)=C3Ncδccos (δcxc)-

C4Ncδcsin (δcxc);

(12)

Nb(xb)=C5EbAbβbcos (βbxb)-

C6EbAbβbsin (βbxb);

(13)

θb(xb)=C7δbcos (δbxb)-C8δbsin (δbxb)+

C9εbcosh (εbxb)+C10εbsinh (εbxb);

(14)

(15)

(16)

值得注意的是，式(7)～(16)是索和梁的平面内自由振动的精确解.

2　传递矩阵法求解

将式(7)～(16)写成矩阵的形式：

t=TC.

(17)

T=

根据式(17)可得到最左端的状态矢量：

tL=T0C.

(18)

式中：T0=T|x=0，下标L代表左端，因此积分常系数矢量C可写为：

(19)

斜拉梁整体可视为一段，状态矢量只传递一次即可.因此，本文中斜拉梁体系中最右端的状态向量可写为：

tR=T1C=T1T0tL.

(20)

然后建立斜拉梁结构最右端索和梁状态矢量的关系，如图2所示.由索梁铰接、位移协调和力平衡条件得：

URb-URccosα-VRcsinα=0,

NRb-NRccosα-QRcsinα=0,

VRb+URcsinα-VRccosα=0,

QRb+NRcsinα-QRccosα=0,

MRb=0.

(21)

图2　索梁连接处的位移和内力的分布

(22)

然后分析斜拉梁左边的边界条件，拉索一般为铰支，而梁可固支也可铰支，所以一般有梁左端固支和铰支两种情况.

对于第一种情况(梁左端固支)，左端的状态矢量可表示为：

(23)

对于第二种情况(梁左端铰支)，左端的状态矢量可表示为：

(24)

下面讨论第一种情况.

将式(20)代入式(22)得：

(25)

式中：全局传递矩阵TG中的元素为ti,j(i,j= 1,2,3,…,10)，均为圆频率ω的函数，经过适当变换，式(25)可转化为以下齐次形式：

(26)

要使系统的振动有非零解，即

(27)

(28)

通过让矩阵(27)和(28)的行列式值为零，可得到两种情况下的斜拉梁面内自由振动的各阶频率ω，再将ω的值回代入式(20)即可求得斜拉梁面内自由振动的各阶振型.

3　特征值分析

为研究CFRP索斜拉梁的特征值问题，即固有频率和模态，选取如下物理参数：索为CFRP索，单位长度质量为10.4 kg/m，横截面积为6.273×10-3m2，弹性模量为210 GPa，初始索力为1 MN，倾斜角度为30°；梁为钢筋混凝土箱梁，长100 m，单位长度质量为4.4×104kg/m，横截面面积为16.3 m2，截面惯性矩为9.8 m4,弹性模量为34.5 GPa.

为了验证本文理论方法在斜拉梁结构中运用的正确性，我们用有限元软件ANSYS12.0建立了同样参数的斜拉梁有限元模型，其中索用Link1单元，梁用Beam3单元，划分单元数为200，然后比较本文理论和有限元法得到的频率和振型.表1分别列出了通过有限元法和本文理论研究两种情况下(左端梁固支和简支)的斜拉梁的前5阶频率.图3给出了第一种情况(左端梁固支)的前5阶振型.可以发现，两种方法所得的结果几乎完全吻合.因此，表1和图3不仅可以说明本文理论的正确性，还为下面的CFRP索斜拉梁面内自由振动的研究作了铺垫.考虑到工程实际中第一种情况(梁左端固支)的斜拉梁更常见，下面的研究只考虑梁左端固支情况的斜拉梁.

表1　斜拉梁的前五阶频率

(a)第1阶振型

(b)第2阶振型

(c)第3阶振型

(d)第4阶振型

(e)第5阶振型

索力/MN

拉索倾斜角度/(°)

图5给出了斜拉索在不同索力、材料和弹性模量下对斜拉梁结构一阶频率的影响.其中，Ecc中下标第二个c表示CFRP索，Ecg中下标g表示钢索.从中可发现,当采用CFRP索时，索力对一阶频率的影响微乎其微；当采用钢索且索力小于0.5 MN时，一阶频率随索力的增大而增大，当索力大于0.5 MN时，CFRP索和钢索斜拉梁的一阶频率随索力变化的曲线几乎是重合的.这是因为CFRP索斜拉梁不论是大索力下还是小索力下其一阶振型均如图3(a)所示，这样一种模态是梁拖动索振动的模态，所以随着索力的增加其频率基本不变.当采用钢索时，由于其质量要比CFRP索质量大，受其影响振型随索力的变化如图6所示.可看到一阶振型的变化过程是由索振动为主到索梁整体振动再到梁振动为主.因此其一阶频率变化曲线是先增大后持平的变化过程.另外，CFRP索斜拉梁一阶频率随拉索弹性模量的增大而增大，说明可以通过提高拉索弹性模量来提高斜拉梁整体结构的刚度，这是因为4种弹性模量下斜拉梁的振型均如图3(a)所示，此时斜拉梁可以看成是一端固支一端弹簧支撑的梁模型，其振动频率与弹簧刚度有关，弹簧刚度越大，振动频率越大，反之越小.

图7反映了斜拉索在不同材料、索力和弹性模量下对斜拉梁结构二阶和三阶频率的影响.可以看出CFRP索斜拉梁的4条曲线均有一个上升段，之后持平，持平段曲线特征与图6类似.因此我们猜测，上升段的振型是渐变的过程，当到达持平段后，振型基本不再变化.为了验证我们的猜测，我们提取出弹性模量为210 GPa的CFRP索斜拉梁索力在0.3 MN,0.6 MN和1 MN的二阶振型和索力在1 MN,5 MN和10 MN的三阶模态如图8所示.从图8可看出随着索力的增加，第二、三阶振型均是从拉索振动为主到斜拉梁整体振动再到梁振动为主的变化过程，证明我们的猜测是正确的.另外，可以发现使用钢索的斜拉梁要相比于使用CFRP索的斜拉梁随着索力的增加较慢进入持平状态，说明振动阶数越高，拉索质量对其影响越明显.

索力/MN

长度/m

综合分析图6和图8，可发现索力对斜拉梁结构的动力学特性的影响，主要体现在索与梁刚度相对变化.当索力较小时，拉索振动明显，随着索力的增大，索振动慢慢地弱化，最后变为随梁振动的“摆动”.这是因为索力增大使拉索的横向刚度显著增大(应力刚化)，最后拉索所表现出的性质就类似于刚度很大的弹簧.

索力/MN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　索力/MN

跨度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　跨度

4　结　论

本文建立了不考虑垂度影响的CFRP索斜拉梁面内自由振动的力学模型，利用简单的张紧弦和欧拉梁振动理论，采用分离变量法得到它们的振型函数，通过考虑索梁连接处的动态平衡条件，将索和梁的振动耦合到一起，利用传递矩阵法得到斜拉梁面内自由振动的各阶频率方程，从而求得各阶频率值.最后讨论了斜拉梁面内自由振动在不同索力、拉索倾角和拉索材料的变化情况.这种研究方法不仅将复杂的问题简单化，而且能反映实际工程中斜拉梁应有的振动特性，并由此得到以下结论：

1) CFRP斜拉梁结构的面内第一阶自振频率几乎不受索力变化的影响，但随着拉索倾角的改变有不同程度的变化，而钢索斜拉梁第一阶频率则随索力和倾角变化较大.这说明CFRP索斜拉梁的刚度相对稳定.

2) 斜拉梁结构的面内二阶以上振动模态表现出受索力和倾角变化的敏感性，都可能出现频率变化曲线转向(veering)现象，因此为了避免内共振对结构产生不利影响，设计或建造斜拉梁时应该避免使用这些可能产生内共振的参数.

3) CFRP索斜拉梁基本动力学性能优于钢索斜拉梁，特别是在较低索力下和高阶频率上尤为突出，并且弹性模量的增大，对结构的一阶频率的影响较大，振动阶数越高，影响越小.由于工程实际中，高阶振动出现的概率要远小于低阶振动，所以高弹性模量的CFRP索在斜拉梁结构中有着更广阔的应用前景.

4) 随着索力的增加，各阶振动的振型均经历从索振动为主到索梁全局振动再到梁振动为主的变化过程，拉索表现出的性质越来越像一根弹簧，这对拉索振动控制具有重要参考意义.

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附录A：

T1,1=sin (βcxc),T1,2=cos (βcxc),

T2,1=EcAcβccos (βcxc),

T2,2=-EcAcβcsin (βcxc)，T3,3=sin (δcxc),

T3,4=cos (δcxc)，T4,3=Ncδccos (δcxc)，

T4,4=-Ncδcsin (δcxc)，T5,5=sin (βbxb)，

T5,6=cos (βbxb)，T6,5=EbAbβbcos (βbxb)，

T6,6=-EbAbβbsin (βbxb)，T7,7=sin (δbxb)，

T7,8=cos (δbxb)，T7,9=sinh (εbxb)，

T7,10=cosh (εbxb)，

T9,7=δbcos (δbxb)，T9,8=-δbsin (δbxb),

T9,9=εbcosh (εbxb)，T9,10=εbsinh (εbxb)，

Modeling and Parameters Analysis on In-plane Free Vibration of Cable-stayed Beam

KANG Hou-jun†,XIE Wei-dong,GUO Tie-ding

(College of Civil Engineering,Hunan Univ,Changsha,Hunan410082,China)

Based on the dynamic theory of taut string and Euler beam as well as the dynamic equilibrium conditions at the joint of cable and beam,the in-plane free vibration theory of a cable-stayed beam was established.The transfer matrix method and boundary conditions were considered to solve the eigenvalue problem of the in-plane free vibration of a cable-stayed beam structure.Meanwhile,a finite element model of the cable-stayed beam was also developed to verify the proposed theory and method.he predictions by the proposed method match well with those of the finite element analysis.Finally,the parametric analysis was conducted,which shows that the fundamental dynamic properties of the cable-stayed beam are improved by replacing steel cables with CFRP cables.

CFRP cable; cable-stayed beam; transfer matrix method; vibration analysis; frequency; mode shape

1674-2974(2016)09-0018-08

2015-09-19

国家自然科学基金资助项目(11572117，11502076),National Natural Science Foundation of China(11572117，11502076)

康厚军(1977-)，四川安岳人，湖南大学副教授，博士

†通讯联系人，E-mail:kang.echo@gmail.com

O343.9

A