虞跨海，刘　奋

(河南科技大学 工程力学系，河南 洛阳 471023)



基于孔隙率累积增长的闭孔泡沫材料三维随机建模*

虞跨海，刘奋

(河南科技大学 工程力学系，河南 洛阳 471023)

提出了1种基于随机造型的椭球空腔闭孔泡沫材料三维几何建模方法。基于几何空间均匀分割得到层叠胞元空间，每个胞元空间内随机生成一个球体以形成基础孔隙造型，球体空腔均匀度因子控制基础造型随机性；胞元空间逐次随机生成若干球体空腔并通过相交特性判定，累积得到有效空腔造型，结合基于优化搜索的孔隙率自适应增长算法，提高空腔造型效率，实现目标孔隙率控制建模；考虑泡沫材料工艺及其真实几何特性，实现泡沫材料大空腔和连通缺陷建模。

闭孔泡沫材料；随机造型；椭球相交；孔隙率累积增长

0　引　言

泡沫材料多孔细观结构特性决定其变形、失效、破坏机制，进而决定材料的本构关系、失效模型和疲劳寿命等，表现为泡沫材料在缓冲、吸能、传热等宏观性能的差异[1]；更由于多孔材料结构孔形、分布的随机性和细观不均匀性，表现为性能参数对于细观特性的敏感性和实验结果的高分散性[2-3]。有限元方法研究细观特性对泡沫材料性能的影响是材料设计和工程应用的有效手段，但完美构造泡沫材料细观特征的几何模型困难，造成数值方法预测泡沫材料力学、传热等性能困难。

泡沫材料数值计算理论经历了从单孔模型到排列模型，从二维拓扑结构到三维模型的研究。早期研究主要基于单孔模型及其规则模型，Kadkhodapour等开展了圆球、椭球和金字塔中心结构规则排列泡沫铝模型的细微观变形失效模式研究，但壁面厚度是均匀的[4]。近期，又提出了多孔组合排列规则模型，采用多种孔形结构规则排列用以预测泡沫材料应力-应变关系，如Pinto等利用3D打印模芯制造了均匀和双尺寸泡沫铝材料，并开展了压缩实验，认为双尺寸细观结构模型具有更高的吸能效率[5]，Nammi等提出了四面体十一面体闭孔泡沫铝规则排列模型，开展了应力应变关系的准静态有限元仿真分析[6]。

本文拟针对闭孔泡沫材料随机几何模型建模和力学性能分析展开研究，考虑闭孔泡沫材料制备工艺的内部空腔均匀性和随机特性，认为在材料制备过程中发泡剂与基体材料充分混合后是均匀的，但由于加热不均、工艺、发泡剂不稳定性等因素，造成内部空腔结构成型时又具有随机性。因此，本文从闭孔泡沫材料造型是在一定均匀性基础上的随机结构基本思路出发，提出了闭孔泡沫材料空腔结构的随机模型造型方法和理论，研究结果有助于开展泡沫材料的力学性能预测，有利于揭示孔隙、缺陷及其分布等对多孔材料力学行为的影响机制。

1　闭孔泡沫材料随机几何建模算法

本文提出了基于广义均匀分布的闭孔泡沫材料几何建模方法，在各向同性胞元空间层叠的基础上，融合随机方法开展闭孔泡沫材料结构的建模，符合闭孔泡沫材料制备工艺特性。理想状态下泡沫材料空腔为圆球体，但由于发泡工艺控制等随机性因素，空腔将发生不同程度的变异，认为主要为球体圆度的变异、空腔的连通与大空腔形成等。因此，本文针对空腔为圆球体和椭圆球体两种模型及缺陷随机构造，开展了闭孔泡沫材料的随机建模方法研究。

1.1基于胞元层叠的造型空间

采用胞元空间层叠方法构造分布均匀的初始空腔分布模型，若胞元空间为长方体，其空间造型三维尺寸(l1，l2，l3)将在一定程度上影响材料各个方向的空腔分布，胞元尺寸的不同将使材料表现出各向异性。

考虑泡沫材料的各向同性，定义胞元空间3个方向尺寸相同，即l1=l2=l3=l以坐标原点为整体造型空间起点，定义胞元沿坐标正向的层叠数量(n1，n2，n3)，建立泡沫材料造型空间，每个方向胞元层叠数量一般不少于30。每个胞元节点可以用层叠数坐标表示(ki，kj，kk)，每个胞元可以用两个主对角线顶点坐标表示，又由于胞元为正立方体，则胞元体可以用(xi，yj，zk、l)或(ki，kj，kk，l)唯一确定，其中(xi，yj，zk)为胞元离原点最近顶点坐标。如图1所示，对每个胞元空间赋予编号，编号规则按照层叠顺序3个方向坐标组成的数组顺序赋值，即空间编号1对应由节点(0，0，0)和(1，1，1)为主对角线的胞元，空间编号2对应由(0,0,1)和(1，1，2)为主对角线的胞元，直至空间编号n1·n2·n3，对应由节点(n1-1，n2-1，n3-1)和(n1，n2，n3)为主对角线的胞元。

1.2椭球空腔建模与相交判定

理想状态下，泡沫材料内的空腔结构应为较均匀分布的球体，但由于工艺、设备、材料杂质等因素的影响，空腔造型会出现不均匀性、尺寸分布、变异、缺陷等现象。随机性造型重绘泡沫材料结构的不均匀性和尺寸统计分布特性，空腔椭球造型方法和缺陷随机生成，实现空腔结构的变异与不确定性建模。

1.2.1椭球几何建模算法

随机椭球几何模型采用9个参数控制，分别是中心坐标参数

半轴长度参数向量

空间旋转角度参数

半轴长度参数也可表示为极半轴长度及其比例系数(ka，kb，c)，其中

θ，φ，ψ分别是椭球中心轴与坐标系主轴方向的夹角。

图1胞元空间层叠建模及空间编号规则

Fig 1 Stacked unit cell space and the rule of numbering

1.2.2椭球间相交判定

闭孔泡沫材料每个空腔相互之间不相连通，因此，造型过程为了保证每个空腔的独立性，需开展空腔相交特性判定。椭球体在其中心局部笛卡尔坐标系下表达式为

(1)

其中

中心坐标参数为(xc，yc，zc)的椭球面可以视为在原点椭球面基础上的坐标平移，则有

(2)

椭球的随机角度(θ，φ，ψ)旋转，可以视为三次空间坐标旋转变换，则有

(3)

将式(2)、(3)代入式(1)，得到随机椭球的表达式XTAX<0

(4)

得到全局笛卡尔坐标系下的随机椭球方程。

根据Wang等[13-14]提出的分离条件实现造型过程中的椭球相交判定。假设任意两个椭球

XTAX≤0，XTBX≤0

定义其特征方程

(1)当f(λ)=0有两个不同的正实根，则两个椭球分离；(2)当f(λ)=0有且仅有一个正实根，则两个椭球相交于一点；(3)当f(λ)=0没有正实根，则两个椭球相交。

当椭球中a=b=c时，则为圆球，因此，也可以用于椭球与圆球之间的相交判定。

1.3基础均匀随机造型

每个胞元内部随机生成一个空腔结构，使得闭孔泡沫结构基础空腔既表现出空腔结构的均匀性，又通过在限定区域内的随机建模体现一定的随机性，实现泡沫材料基础均匀随机造型。

空腔造型采用圆球和椭球混合模型，胞元空间最小尺寸应大于最大圆球空腔直径或椭球最小外切圆球直径dmax。如图2所示为球心空间构造示意图，为了使得随机生成的球心能够绝对满足胞元空间要求，在胞元空间各方向尺寸缩进R+wt/2，构成球心随机造型空间，其中R=dmax/2，wt为泡沫空腔之间最小壁厚要求。在球心随机造型空间内随机生成球心坐标，可以直接满足胞元空间内部空腔造型的要求，减少计算量。随机生成球心坐标集合Ξ(x,y,z)和泡沫空腔造型参数集合Φ(r)，得到基础均匀随机空腔造型，这些生成的球体定义为胞元中心球体。

图2　球心空间构造示意图

胞元空间尺寸l与空腔尺寸r之间的比例关系，将在很大程度上决定基础均匀随机空腔造型的均匀性和闭孔泡沫材料几何结构最终造型的空间特性，同时在一定程度上影响后续孔隙率增长造型算法的计算量。为了表征基础随机造型的均匀性，提出基础球体空腔均匀度γ模型

(5)

式中，Δdi为球心坐标与胞元空间中心坐标距离向量，l为胞元空间长度，r为球体空腔半径。当γ=0时，空腔中心与子域中心重合，完全均匀；当γ=1时，基础空腔均匀性最差，随机性最大。如图3所示为等半径均匀和随机基础空腔造型结果。

图3　不同均匀度因子的基础随机造型结果

Fig 3 Geometry of basic stochastic modeling with different uniformity factor

胞元空间的尺寸将决定泡沫金属材料模型的整体均匀性和几何建模的基础孔隙率，当胞元空间尺寸越大，整体均匀性越小，基础孔隙率越小，反之越大。当l=2r时，整体均匀造型基础孔隙率达到理论极限

(6)

实际造型过程中，整体空间随机均匀基础空腔造型结果的孔隙率一般在20%以下，这与胞元空间尺寸与空腔尺寸的比值相关，需通过多重采样累积造型才能实现50%～70%孔隙率泡沫材料的几何建模。

1.4孔隙率增长累积造型

初步生成的基础空腔模型，模型内部仍然存在大量的实体空间，难以达到大孔隙率几何建模的要求，本文采用逐步累积方法提高孔隙率。孔隙率累积增长空腔造型采用多次生成方法，逐步增加孔隙结构，在选定胞元空间椭球球环空间内，随机生成球心集合与半径集合，根据球体空间相交规则判定空腔是否相交的方法排除不符合要求的球体造型，为了避免在孔隙率增长后期算法效率低的问题，本文提出了空腔自适应优化增长方法，通过优化提高孔隙率增长算法的效率和可行性。

孔隙率累积增长算法基于随机造型筛选和空间寻优相结合策略实现。以某胞元空间内生成的空腔P为例，若(ap，bp，cp)为P的椭球半轴长，在椭球(xp，yp，zp，ap+rmax+wt，bp+rmax+wt，cp+rmax+wt，θp，φp，ψp)和(xp，yp，zp，ap+rmin+wt，bp+rmin+wt，cp+rmin+wt，θp，φp，ψp)构造的环状空间内，随机生成满足累积模型中心点建模要求的球心坐标集合Ξ(xc)及匹配的半径和转角集合Φ(r,θ)，其中rmax和rmin分别为最大和最小球半径，wt为空腔之间壁厚，球体数量根据胞元空间尺寸和空腔半径生成；筛选出相互之间满足最小壁厚要求的球体集合Ω(xc，r，θ)，得到胞元空间累积初步几何造型。

如图4所示为子域定义示意图，对于任意一个胞元空间，与其具备相交可能性的球体空腔应全部包含在子域空间内。子域空间由胞元及与其相邻的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4个区域的共27个胞元组成3×3×3的矩阵排列，单边界区域胞元子域由邻近Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 3个区域共18个胞元组成，双边界区域胞元子域由邻近Ⅰ、Ⅱ两个区域共12个胞元组成，三边界区域胞元子域由邻近Ⅰ区域共8个胞元组成，遴选子域空间内的所有球体空腔作为相交判定球体集合Ψ(xc，r，θ)，可以避免在整体造型空间内进行相交判定，提高算法效率。将胞元空间初步几何造型集合Ω(xc，r，θ)及其相对应的子域球体集合Ψ(xc，r，θ)进行相交判定，所得的符合不相交规则的造型为该胞元当次累积增长几何造型Ω′(xc，r，θ)。

图4子域空间构造示意图

Fig 4 Schematic of subdomain space

随着空间累积增长模型的进行，胞元附近寻找满足造型要求球体空腔的效率急剧下降，孔隙率增长的计算量呈几何倍数增长。本文提出了基于优化理论的孔隙率自适应增长算法，可以极大提高孔隙率增长造型的算法效率。算法如下：(1)选取某一胞元及其随机造型及相交判定，得到初步增长几何造型集合Ω；(2)Ω与子域空腔集合Ψ相交判定，筛选出与其全不相交的造型集合Γ，与Ψ一起构造新的子域空腔集合Ψ′，定义Ω去除Γ后的子集为Ω′；(3)选取Ω′中任意球体Z，记录Ψ′与Z的相交特性；(4)比例减小球体Z的轴半径参数，得到新的球体Z′，计算球体Z′与Ψ′的相交特性，若轴半径参数小于最小半径，则认为该球体Z造型失败，从Ω′中筛除该球体并更新Ω′，若Ω′为空转至(8)；(5)若Z′与Ψ′全部不相交，转(8)，若相交特性未变化，转至(4)，否则转至(6)；(6)记录Ψ′中由相交变为不相交的球体集合Λ，以球体Z的球心和集合Λ的球心连线为方向向量，选取其中两个夹角最小向量的中心向量的反方向为Z球心坐标优化搜索方向，得到球体Z″，若相交特性变化的球体只有一个，则优化方向向量为其反方向；(7)记录Z″与Ψ′的相交特性，若相交特性没变化，则继续沿该方向搜索球心坐标，直至出现相交特性变化，记录出现由不相交变为相交球心向量的反向为下次球心搜索方向，若球心坐标超出子域，则转(8)，若Z′与Ψ′全部不相交，转(8)，否则转(4)；(8)结束此次造型，若球体Z′符合造型要求并入Ψ′，更新子集Ω′，若Ω′为空或胞元孔隙率达到目标值，结束该胞元的孔隙率增长，进入(1)，否则转至(3)；(9)当所有子域空腔集合Ψ(x,y,z,r)内所有空腔寻优完成，或达到搜索上限，完成一次孔隙率累积增长。

整体孔隙率计算公式为

(7)

式中，Vfoam表示造型空间内泡沫空腔体积，Vall表示造型空间总体积，其中泡沫空腔体积计算时，应考虑边界处界面截断部分空腔体积，如图5所示为边界处空腔截断类型，分别有单边界、双边界和三边界截断。体积计算采用微积分方法推导得到3种截断类型下体积计算公式，单边截断空腔体积计算公式为

(8)

式中，右边第一项为球体体积，第二项为球缺体积。对于双边截断和三边截断空腔体积，采用近似计算，即球体体积减去两部分或3部分球缺体积

(9)

(10)

该计算结果与实际相比孔隙率偏小，但由于边界附近空腔占比例较小，对孔隙率计算结果影响较少，在累积增长建模过程中子域空间的近似孔隙率计算，也采用该方法计算。

1.5闭孔泡沫材料随机模型造型结果

根据基础空间造型和空间累积增长算法，编制泡沫材料造型程序，得到椭球空腔造型参数，基于三维造型软件的二次开发实现泡沫材料几何造型。图6和7所示为分别建立的孔隙率分别为52%和64%的泡沫材料随机造型结果，最小壁厚为0.08 mm，空腔的半径范围为0.2～1.0 mm，模型大小为10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基础空腔均匀度因子γ=1，椭球参数k的取值区间为 [0.7,1]。

图5　空腔在边界上的3种截断类型

图6　52%孔隙率无缺陷模型

图7　64%孔隙率无缺陷模型

闭孔泡沫材料由于生产工艺等原因，会产生一些缺陷，主要有连通缺陷、大孔缺陷等。大孔缺陷一般表现为最大直径1～3倍的大空腔结构，可以直接空间随机生成。连通缺陷一般表现为两个空腔的连接，可以分为椭球同轴连通和非同轴连通两种。图8所示为建立的空腔缺陷模型，其中孔隙率均为56%，最小壁厚(对非连通缺陷区域)为0.08 mm，空腔的半径范围为0.2～0.8 mm，模型空间大小为10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基础空腔均匀度因子γ=1，大孔缺陷的半径为1.0 mm，连通缺陷最大连通距离为0.1 mm。

图8　缺陷模型

2　结　论

提出了基于随机成型的闭孔泡沫材料几何建模方法，在均匀划分造型空间的基础上，采用随机方法生成球体或椭球体空腔形成闭孔泡沫材料基础均匀随机造型，空间累积增长结合空腔造型相交判定算法实现了闭孔泡沫材料孔隙率增长，建立了50%～70%孔隙率的泡沫材料，得到以下结论：

(1)采用基础空腔均匀随机生成，结合基于椭球相交判定空腔累积增长算法，可以实现孔隙率为50%～70%的闭孔泡沫材料三维几何模型建模；

(2)基于优化理论的孔隙率自适应增长可以提高空间累积的可行性和计算效率；

(3)建立的闭孔泡沫材料几何模型，实现了椭球随机分布、大孔和连通缺陷模型建模，具有较高的真实材料重构特性，有利于数值方法开展泡沫材料力学特性、传热特性等性能的预测和设计。

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3D geometry modeling method of closed-cell foam based porosity accumulation

YU Kuahai，LIU Fen

(Department of Mechanics Engineering,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

This paper proposes a new 3D geometry modeling method of closed-cell foam material based on stochastic algorithm,with the cavity shape of spheroid.Uniform space partition method constructs the stacked unit cell space,then generate one spheroid in each unit cell to construct the basic geometry of foam,by defining the uniformity factor to control its randomness.Porosity accumulation method is developed to make the porosity reach to the target step by step,by central unit cell generate several spheroids randomly each time and intersection determination to retain the feasible geometry in each step.Porosity adaptive increasing algorithm based optimization method is also proposed to improve the modeling efficient.Besides,large cavities and overlapping flaw geometry models are also developed,considering the actual foaming process and structure features of foams.

closed-cell foam; stochastic modeling; ellipsoid intersection; porosity accumulation increase

1001-9731(2016)09-09073-06

2015-08-14

2016-03-15 通讯作者：虞跨海，E-mail:yukuahai@163.com

虞跨海(1982-)，男，浙江义乌人，博士，副教授，从事计算力学方面研究。

TB31；TB34

ADOI:10.3969/j.issn.1001-9731.2016.09.014