翟孟丽，颜凤，谢祥云

（1.五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020；（2.罗定职业技术学院 教育系，广东 罗定 527200）

Γ-超半群的(m,n)拟超理想

翟孟丽1，颜凤2，谢祥云1

（1.五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020；（2.罗定职业技术学院 教育系，广东 罗定 527200）

引入Γ-超半群的(m,n)拟超理想、m-左超理想和一个n-右超理想的概念，给出Γ-超半群任何一个非空子集生成(m,n)拟超理想的生成表示.证明任何(m,n)拟超理想可以分解为一个m-左超理想和一个n-右超理想的交，同时证明Γ-超半群的一个极小(m,n)拟超理想是极小的当且仅当它是某个极小m-左超理想和某个极小n-右超理想的交.最后给出了(m,n)拟单超Γ-超半群的刻画.

Γ-超半群；(m,n)拟超理想，m-左超理想，n-右超理想，(m,n)拟单超Γ-超半群

O152.7

A

1　引言与预备知识

一个满足结合律的代数系统称为半群，半群代数理论是在算子理论、拓扑学、概率论等学科结合渗透和计算机科学的强烈推动发展起来的，自19世纪中期开始，许多数学家对半群做了深入研究[1-5].1956年，Steifeld给出了半群拟理想的定义[6]，自此引起众多数学家的广泛研究[7-12].1986年，Sen等将半群的概念泛化，给出了Γ-半群的概念[2].作为一般半群的推广，半群中的很多重要结论都能在Γ-半群中找到了类似物[7-9].近十几年来，越来越多的数学家投入到Γ-半群的研究[11-14]，Γ-半群理论不断得到完善.

随着数学科学的发展，超结构思想在这些数学领域的交叉发展中孕育而生.1934年，法国数学家F.Marty提出了超结构[15]的概念，作为经典代数结构的泛化.印度数学家M.K.Sen则将半群代数理论和超结构完美结合，并研究了模糊超半群的相关理论.1999年，伊朗数学家B.Davvaz等在Γ-超半群的基本理论的建立，如Γ-超半群的双理想、素理想、格林关系、同余等上做了一些基础工作[11-14,16-23].1985年，Li Hongxing引入了HX-群[24]，Zhang Zhenliang 在1997年给出了进一步的讨论[5]，2003年以后詹建明教授的研究团队和笔者团队在超半群，Fuzzy超半群，序超半群的理想、同余等上取得了进一步的研究成果[19-22].

本文引入Γ-超半群的(m,n)拟超理想、m-左超理想和一个n-右超理想的概念，给出了Γ-超半群任何一个非空子集生成(m,n)拟超理想的生成表示.证明任何(m,n)拟超理想可以分解为一个m-左超理想和一个n-右超理想的交，同时证明Γ-超半群的一个极小(m,n)拟超理想是极小的当且仅当它是某个极小m-左超理想和某个极小n-右超理想的交.

定义1[15,22]映射°:H×H→P(H)称为H上的一个超运算，其中H是非空集，P*(H)是H的不包含空集的H的所有子集集.如果“°”H上的一个超运算，则(H,°)是一个超结构.

定义2[18]对超结构(H,°)，若满足(∀x,y,z∈H)(x°y)°z=x°(y°z)，即∪u∈x°yu°z=∪v∈y°zx°v，则(H,°)是一个超半群.

定义3[9]设S={x,y,z,…}，Γ={α,β,γ,…}是两个非空集合.集合S是一个Γ-超半群，若S满足下列条件：

1）(∀α∈Γ)(∀x,y∈S)xα y⊆S；

2）(∀α,β,γ∈Γ)(∀x,y,z∈S)(xα y)βz=xα(yβ z).

设(S,°)是一个超半群，Γ为一个非空子集.定义映射

容易看出S是一个Γ-超半群.因此一个超半群可以看作为一个Γ-超半群.

简单起见，对S的任意非空子集A，B，记：AΓB=∪γ∈ΓAγ B=∪{aγ b|a∈A,b∈B,γ∈Γ}；Am=AΓAΓ…ΓA，A0ΓSΓB0=S A0ΓSΓBn=SΓBn，AmΓSΓB0=AmΓ S，A0ΓB=BAΓB0=A，其中m,n为任意的非负整数.

Γ-超半群S的一个非空子集K是S的子超半群，若满足KΓK⊆Κ.Γ-超半群S的一个非空子集I是S的左超理想，若满足SΓI⊆I.对偶地，若满足IΓS⊆I，则非空子集I称为S的右超理想.

我们再给一个Γ-超半群的例子.

例1 设(S,≤)是一个全序集，Γ是S的非空子集合.对于任意的x,y∈S，δ∈Γ，我们定义S上的二元Γ超运算如下：xδ y={z∈S|z≤min{x,δ,y}}.则S为一个Γ-超半群.

文中出现但没有定义的相关概念详见文献[1-18].

2　(m,n)拟超理想

结合超理想和(m,n)拟理想的概念定义Γ-超半群上的(m,n)拟超理想.

定义4 若对Γ-超半群S的任意一个非空子集Q，有SΓQ∩QΓS⊆Q，则Q是S的一个拟超理想.

定义5 若对Γ-超半群S的任意一个非空子集Q，有SΓQm∩QnΓS⊆Q，则Q是S的一个(m,n)拟超理想.

注1：当n=1，m=1时，相应的(m,n)拟超理想是S的一个拟超理想；对于任意的k≥m和l≥n，若Q是S的一个(m,n)拟超理想，由SΓQk∩QlΓS=SΓQk-mΓQm∩QnΓQl-nΓS⊆SΓQm⊆SΓQm∩QnΓS⊆Q，可得，Q是S的一个(k,l)拟超理想.

例2 设S=(0,1)是一个实数集的开区间，Γ是非空集合.对于任意的x,y∈S，γ∈Γ，定义S上的二元Γ超运算如下：xγ y={xy/2k|0≤k ≤1}.则S为一个Γ-超半群.取Q=(0,1/2).Q是S一个Γ-超子群且为S的(m,n)拟超理想.

定理1 设A是Γ-超半群S的一个子超半群，Q是S的一个(m,n)拟超理想，若A∩Q≠Ø，则A∩Q是A的一个(m,n)拟超理想.

证明 由A∩Q≠Ø和A∩Q⊆A可得：

则AΓ(A∩Q)m∩(A∩Q)nΓA⊆A∩Q .因此A∩Q是A的一个(m,n)拟超理想.

定理2 设{Qi}i∈N是S的一个(m,n)拟超理想簇.若∩i∈NQi≠Ø，则∩i∈NQi是S的一个(m,n)拟超理想.

故有，Q是S的一个(m,n)拟超理想.

例3 定理2中∩i∈NQi≠Ø是一个必要条件.例如，假设S=N+，即S是非负正整数.Qi={k∈N+|k≥i}和Γ={γ}，定义xγ y=x+y+5N+(∀x,y∈S).则S是一个Γ-超半群，Qi为N+的一个(2,3)拟超理想，但有∩i∈NQi≠Ø.

定义6 S的一个(m,n)拟超理想Q是S的一个极小(m,n)拟超理想，若Q不真包含S的任何(m,n)拟超理想.

设A为Γ-超半群S的一个非空子集，Q(m,n)为S的全体(m,n)拟超理想集，记是S的一个包含A的(m,n)拟超理想}.则由定理2，为S的一个由A生成的(m,n)拟超理想.若A={a}，记(a)q(m,n)=({a})q(m,n)为S的一个由a生成的主(m,n)拟超理想.

进而给出由A生成的(m,n)拟超理想的刻画.

定理3 设A是Γ-超半群S的一个非空子集，则有

证明 设Q=(A∪SΓAm)∩(A∪AnΓS).显然A⊆Q，因

故Q是S的一个包含A的(m,n)拟超理想.

下证Q是S的包含A的一个极小的(m,n)拟理想，设Q1是S的包含A的任意一个(m,n)拟超理想，则有

因此A∪(SΓAm∩AnΓ S)⊆Q1，故(A)q(m,n)=(A∪SΓAm)∩(A∪AnΓS)⊆Q1，所以，Q是S的包含A的一个极小的(m,n)拟超理想.

注2 当n=1，m=1时，相应的(m,n)拟超理想是Γ-超半群S一个拟超理想；由QΓQ⊆SΓQ∩QΓS⊆Q，可得Γ-超半群S的拟超理想Q是S的子超半群.

3　m-左超理想和n-右超理想

定义7 若对Γ-超半群S的任意一个非空子集A，有SΓAm⊆A，则A是S的一个m-左超理想.对偶地，若有AnΓS⊆A，则A是S的一个n-右超理想.

类似定理1的证明，可以得到

定理4 设S是一个Γ-超半群，则有

i）若{Ai}i∈N是S的一个m-左超理想簇且{Ai}i∈N≠Ø，则∩i∈NAi是S的一个m-左超理想；

ii）若{Bi}i∈N是S的一个n-左超理想簇且{Bi}i∈N≠Ø，则∩i∈NBi是是S的一个n-左超理想.S的一个m-左超理想L是S的一个极小m-左超理想，若L不真包含S的任何m-左超理想.

是S的一个包含A的m-左超理想}，则

(A)l(m)=∩L∈L(m)L是S的一个由A生成的m-左超理想.

对偶地，可以得到S的一个由A生成的n-右超理想(A)r(n)的定义.类似定理3的证明，可以得到：

定理5 设A是Γ-超半群S的一个非空子集，则有

i）(A)l(m)=A∪SΓAm；

定理6 设A和B分别是Γ-超半群S的m-左超理想和n-右超理想，则A∩B是S的一个的(m,n)拟超理想.

证明 由A和B的性质可知，BnΓAm⊆SΓAm∩BnΓS⊆A∩B .因此A∩B≠Ø，且(A∩B)nΓS⊆BnΓ S⊆B，SΓ(A∩B)m⊆SΓAm⊆A .故有

所以，A∩B是S的一个的(m,n)拟超理想.

推论1 设S是一个Γ-超半群且a∈S，则下列结论成立：

i）SΓam是S的一个m-左超理想；

ii）anΓS是S的一个n-右超理想；

iii）SΓam∩anΓS 是S的一个(m,n)拟-超理想.

证明 i）由SΓ(SΓam)m⊆SΓ(SΓam)⊆SΓam，可得SΓam是S的一个m-左超理想.

类似的可以得到ii）.由i）和ii）及定理6易知iii）成立.

设A和B分别是Γ-超半群S的一个m-左超理想和n-右超理想，Q是具有(m,n)交性的，若有Q=A∩B.

定理7 对Γ-超半群S的任意(m,n)拟超理想Q有Q=A∩B，即Q是具有(m,n)交性的.

证明 设Q是S的任意(m,n)拟超理想，令A=SΓQm∪Q，B=Q∪QnΓS .则

故A是S的一个m-左超理想.类似地可得，B是S的一个n-右超理想.

由SΓQm∩QnΓ S⊆Q 可得：

定理8 Γ-超半群S的一个(m,n)拟超理想Q是S的极小(m,n)拟超理想的充分必要条件是Q能表示为S的一个极小m-左超理想A和一个极小n-右超理想B的交.

证明 充分性.设Q是Γ-超半群S的一个极小(m,n)拟超理想，a∈Q，由推论1可得SΓam、 anΓS和SΓam∩anΓS 分别是S的m-左超理想、n-右超理想和(m,n)拟超理想.

又SΓam∩anΓS⊆SΓQm∩QnΓ S⊆Q 且Q是S的极小(m,n)拟超理想，则有SmΓa∩aΓSn=Q .

下证SΓam是S的一个极小m-左超理想.设A是Γ-超半群S的一个包含于SΓam的m-左超理想，则A∩anΓS⊆SΓam∩anΓS=Q .又A∩anΓS是S的一个(m,n)拟超理想且Q是极小的，则A∩anΓ S=Q .故得Q⊆A.又SΓam⊆SΓQm⊆SΓAm⊆A，则A=SΓam.因此，SΓam是S的一个极小m-左超理想.类似地可得anΓS是S的一个极小n-右超理想.

必要性.设A和B分别是使得Q=A∩B的S的一个极小m-左超理想和极小n-右超理想，则Q⊆A且Q⊆B.设Q1是S的一个包含于Q的一个(m,n)拟-超理想.由推论1可知，和ΓS分别为S的m-左超理想和n-右超理想.又⊆SΓQm⊆SΓAm⊆A 且ΓS⊆QnΓ S⊆BnΓS⊆B，由A和B的极小性可得，=A 且ΓS=B.故由Q=A∩B=∩ΓS⊆Q1得Q=Q1.因此，Q是S的一个极小(m,n)拟超理想.

注3 并非任何Γ-超半群都包含一个极小(m,n)拟-超理想.例如S=N+，Γ={γ}，xγ y=x+y+ 5N+(∀x,y∈S,γ∈Γ)，则S是一个Γ-超半群.若S有一个极小(m,n)拟超理想Q，则Q是一个无限集.设k是Q中的最小正整数，显然Q的真子集Q′=Q{k}是S的一个(m,n)拟超理想.这与Q是Γ-超半群S的极小(m,n)拟超理想矛盾，故S不存在极小(m,n)拟超理想.

定理9 设S是一个Γ-超半群，则有

i）S的m-左超理想A是极小m-左超理想当且仅当对任意的a∈A，有SΓam=A；

ii）S的n-右超理想B是极小n-右超理想当且仅当对任意的a∈B，有anΓS=B；

iii）S的(m,n)拟超理想Q是极小(m,n)拟-超理想当且仅当对任意a∈Q，有SΓam∩anΓS=Q .证明 i）充分性.设SΓam=A，A′是Γ-超半群S的一个包含于A的m-左超理想且x∈A′，则有x∈A且SΓxm=A .又A=SΓxm⊆SΓA′m⊆A′，故A=A′.因此A是S的一个极小m-左超理想.

必要性.设A是S的极小m-左超理想，a∈A，则有SΓam⊆SΓAm⊆A，由推论1得，SΓam是S的一个m-左超理想.由A得极小的性得SΓAm=A .

类似可得ii）和iii）成立.

4　(m,n)拟单超Γ-超半群

定义8 Γ-超半群S是(m,n)拟单超Γ-超半群，若S不存在任何非平凡的(m,n)拟超理想.

若S不存在任何非平凡的m-左超理想，则S是m-左单超Γ-超半群.对偶地，可以得到n-右单超Γ-超半群的定义.

定理10 设S是一个Γ-超半群，则有

i）S是一个m-左单超Γ-超半群当且仅当对任意的a∈S，有SΓam=S .

ii）S是一个n-右单超Γ-超半群当且仅当对任意的a∈S，有SΓam=S.

iii）S是一个(m,n)拟单超Γ-超半群当且仅当对任意的a∈S，有SΓam∩anΓS=S .

证明 i）充分性.设对任意的a∈S都有SmΓa=S，由定理9 i）可得，SmΓa=S是S的极小m-左超理想.所以，S不存在任何非平凡的m-左超理想，S是一个m-左单超Γ-超半群.

必要性.设S是一个m-左单超Γ-超半群，则S只有一个m-左超理想S.由定理9 i）可得，对任意的a∈S，有SmΓa=S.

类似可得ii）和iii）成立.

定理11 设S是一个Γ-超半群，则有

i）若S的一个m-左超理想A是一个m-左单超Γ-超半群，则A是S的一个极小m-左超理想；

ii）若S的一个n-右超理想B是一个n-右单超Γ-超半群，则B是S的一个极小n-右超理想；

iii）若S的一个(m,n)拟超理想Q是一个(m,n)拟单超Γ-超半群，则Q是S的一个极小(m,n)拟超理想；

证明 i）设A是一个m-左单超Γ-超半群，则由定理9 i）可得，对任意a∈A，有AΓ am=A .又A=AΓam⊆SΓam⊆A，则SmΓa=A.故由定理9 i）可得，A是S的一个极小m-左超理想.

类似可得ii）和iii）成立.

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[责任编辑：韦 韬]

On (m,n) Quasi-hyperideals of Γ-semihypergroups

ZHAI Meng-li1,YAN feng2,XIE Xiang-yun1
(1.School of Mathematics and Computation Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China; 2.Department of Education,Luoding Polytechnic,Luoding 527200,China)

In this paper,we introduce the concepts (m,n) quasi-hyperideals,m-left hyperideals and n-right hyperideals of Γ-semihypergroups.We give the representation theorems of (m,n) quasi-hyperideals by means of any nonempty subset of a Γ-semihypergroup,and we also prove that any (m,n) quasi-hyperideal of Γ-semihypergroups can be expressed as the intersection of a m-left hyperideal and a n-right hyperideal.Moreover,any (m,n) quasi-hyperideal of Γ-semi-hypergroups is minimal if and only if (m,n) it can be expressed as the intersection of a minimal m-left hyperideal and a minimal n-right hyperideal of Γ-semi-hypergroups.Finally,we get the characterizations of (m,n) quasi simple Γ-semi-hypergroups by (m,n) quasi hyperideals.

Γ-semi-hypergroups; (m,n) quasi-hyperideal; m-left hyperideal; n-right hyperideal; (m,n) quasi-simple Γ-semi-hypergroup

1006-7302（2016）01-0001-07

2014-08-12

国家自然科学基金资助项目（11361027，11271040）；广东省自然科学基金资助项目（2014A030313625）；广东省教育厅省级重大项目（自然科学类）（2014KZDXM055）.

翟孟丽（1990—），女，河南襄城人，在读硕士生，主要研究方向为半群的代数理论.颜凤，讲师，硕士，通信作者，研究方向为模糊代数.