王晋茹，张庆庆

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

带零点噪声密度函数的小波估计

王晋茹，张庆庆

（北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

利用小波方法研究含零点噪声的密度去卷积问题，构造了密度函数的小波估计器，并给出其在Besov空间中的上界估计.结果表明:本文的估计器是自适应的，且推广了文献［4，6］的结论.

Besov空间；小波估计器；自适应；收敛率

本文主要考虑如下模型:假设随机变量为观测数据，且满足

式中:Xl与εl为相互独立的随机变量；g（t）为随机噪声｛εl｝l∈｛1，2，…，n｝所对应的已知密度函数.研究目标是估计随机变量X的密度函数fX（t）.

设p≥1，Lp（ RR）表示实直线 RR上的Lp可测空间，F［f］（ξ）表示函数f（t）∈L1（ RR）的Fourier变换.一般地，随机噪声的密度函数满足

式中:ξ∈ RR；c＞0；b＞0；α≥0；γ∈ RR为常数.若α= 0，γ＞0，则称噪声为适度病态噪声；若α＞0，则称噪声为严重病态噪声.在式（2）的条件下，许多作者利用小波方法构造未知密度函数的估计器，并研究其在Besov空间的最优收敛性［1-3］.

然而在某些实际问题中，例如均匀分布随机变量密度函数的特征函数有零点，故不满足式（2）.为此，2011年Delaigle等［4］将条件（2）推广为含零点情形，即

式中:常数c＞0；b＞0；T＞0；ν≥0；α≥0；γ∈ RR（如果α=0，则假设γ＞0）.在式（3）条件下，Delaigle等［4］利用核估计方法构造Sobolev空间中密度函数的估计器，并研究其MISE收敛性.2014年，Guo等［5］利用小波方法构造估计器，并研究其在适度病态噪声（即α=0）下Besov空间中的Lp风险估计.由于Besov空间包含分数阶Sobolev空间受 Delaigle等［4］和Guo等［5］工作的启发，本文将构造严重病态噪声（即α＞0）情形下的小波估计器，并研究其在Besov空间中Lp风险意义下的收敛性.特别地，当……