周小建



从一题多解看高等数学竞赛的综合能力培养

周小建

（南通大学 理学院，江苏 南通 226019）

高等数学的知识和思辨方法已成为当代大学生的知识能力和素质结构中不可或缺的重要组成部分．从2个实例出发，通过一题多解，探索该教学方法在高等数学竞赛教学辅导过程中对学生创新思维和发散思维能力的培养．

一题多解；创新思维；发散思维；高等数学

高等数学课程不仅要传授必要的数学知识，更重要的在于培养学生分析问题和解决问题的能力，即数学思维能力[1]．创造性思维能力是数学思维能力的重要组成部分，对其它学科或工作具有指导和帮助作用．教师都能够重视知识的传授，但是对如何培养创造性思维品质及能力往往重视不够．与中学数学相比，高等数学在知识层次、认识层次和方法层次上，有较大的扩展和深化，在严谨性和逻辑性方面也有提高与突破．由于培养目标的要求，高等数学课程的教学必须传授知识和技能，发展思维能力，保证学生具有数学基础和素养．但是由于各种原因，如教学课时的缩减和实际应用教学课时的增加等，造成高等数学教学时间的紧促，这就给高等数学教学提出了一个新的问题，即如何在有限的时间内把高等数学的精神和思想教给学生．

一题多解，就是灵活运用所学数学基础知识，对于同一题目，从不同角度，应用不同方法，给出多种不同的解题方法．一题多解的讲解和训练，可以促进学生把所学的基础知识和基本技能融会贯通，灵活运用，使学生的解题思路开阔，提高了学生分析问题和解决问题的能力．一题多解的教学方法能够充分利用现有的教学时间，最大限度地帮助学生巩固所学知识，培养学生创新思维和发散性思维的能力[2]．

本文从定积分、二重积分的计算实例出发，探索一题多解的教学方法在高等数学竞赛教学中对学生创新思维和发散性思维的促进作用和培养．

分析计算定积分必须以扎实而丰富的基础知识为依据，如求定积分的常用方法（第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法）、代数式、三角函数式的恒等变形和变量代换等[3]．使学生的思维向多方向扩展，尽可能多地综合运用所学知识寻求多种解答思路．这有助于培养他们的创新能力和发散思维．

方法1可以从已知出发采用分部积分法转化成定积分，再采用变量代换法完成求解．

求含有抽象函数的积分，通常使用的方法就是分部积分，以避免对未知函数进行直接积分．所以这种方法容易被学生接受，能够体现学生的数学基本功．

方法2 可以从已知出发采用分部积分法转化成定积分，再采用三角变换完成求解．

与方法１相比，方法２采用了三角替换来计算定积分．在定积分的计算中，通过三角替换去根号也是一种常见的处理方式，对大多数学生而言没有难度．

方法3可以对原定积分进行变量替换完成等价转化，再采用分部积分法进行计算．

方法3本质上来讲与方法1没有太多的区别，仅仅是提前进行根号变换．

方法4可以将所求的定积分转化成累次积分，采用交换积分顺序的方法将所求的积分进行等价转化，再采用变量代换法完成求解．

一般而言，二次积分常化为定积分来计算，然而方法4却反其道而行之．该方法的介绍有助于培养学生的创新思维．

分析二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要组成部分，熟练掌握二重积分的计算是教学大纲的基本要求[4]．二重积分计算的关键在于方法和技巧．通过对典型二重积分计算的一题多解，不仅能使学生全面掌握二重积分的计算方法，而且对一些技巧的讲解，同样能培养学生的发散性思维．

二重积分通常可以转化为累次积分，进而完成计算．累次积分有２种类型，即先后或先后．根据所求的区域，给出了解法1~4．

二重积分可以采用变量代换进行等价转换，进而完成计算．从已知出发，给出和的取值范围，采用变量替换进行等价转换．

解法7~8中的２种变换在教材中虽有介绍，但平时应用得较少．这２种方法的介绍，有助于提高学生学习兴趣，激发学生创新能力．

[1] 陈静，马苏奇，王来生．注重学生解决问题的能力与创造型思维的培养 提高高等数学课程的教学效果[J]．大学数学， 2006，22（3）：25-27

[2] 计正印．从“一题多解”中培养能力刍议[J]．商洛学院学报，1996（2）：90-90

[3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993

[4] 华师大数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2010

[5] 张筑生．数学分析新讲[M]．北京：北京大学出版社，1999

Comprehensive ability training in advanced mathematical competition from the view point of multi-solution to one problem

ZHOU Xiao-jian

（School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China）

The knowledge and thinking method of advanced mathematics has become the important components of ability and quality of contemporary college students．Using the method of multi-solution to one problem on two given examples，discuss the effect of this method to training the abilities of innovative thinking and divergent thinking，in the process of teaching for advanced mathematical competition．

multi-solution to one problem；innovative thinking；divergent thinking；advanced mathematics

1007-9831（2016）11-0063-04

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.017

2015-10-25

南通大学高等教育研究课题（2013GJ017）

周小建（1977-），男，江苏如皋人，副教授，博士，从事数值代数研究．E-mail：zxjnttc@126.com