王茂飞　卜　京　侯　洋

（南京理工大学自动化学院，南京　210094）



基于Root-MUSIC频率估计的改进加窗插值FFT相位测量算法研究

王茂飞卜京侯洋

（南京理工大学自动化学院，南京210094）

在微电网高精度相位测量领域中，为了克服间谐波对加窗插值FFT中的插值多项式拟合算法的精度影响而使相位测量精度明显下降的问题，本文提出了一种加窗插值快速傅里叶改进算法，即采用Root-MUSIC算法准确频率估计，修正Blackman窗三谱线插值FFT频率公式，得到多项式两个变量准确值，修正了之前加窗插值FFT算法由于间谐波等扰动的长范围及短范围频谱泄露造成的变量不准确问题，在得到修正后变量基础上修正相位表达式，从而得到准确地相位值。仿真表明，本算法在存在间谐波扰动的情况下可以很好地估计频率，具有很高的相位测量精度，同时抗噪声干扰能力较强。

间谐波；加窗插值FFT；Root-MUSIC；频率估计；相位测量

微网内存在大量的电力电子设备和非线性负荷，如风机、光伏电池、燃料电池、燃气轮机等分布式电源和储能元件都需要通过电力电子变流器才能与系统相连接。这些电力电子变流装置担负着负荷的投切和电量的传递等重要任务，但对其进行操作会引起电网电压、电流波形畸变，导致电网的谐波和间谐波污染［1］。随着微网的不断推广和应用，如风力发电机组的波动性，以及交直交、交交变频器在DG中的大量应用，都为微网带来大量的间谐波。

加窗插值FFT算法被广泛的应用在电力系统相位测量领域，文献［2-3］提出了一种加Blackman窗的三谱线插值傅里叶算法，虽然Blackman窗能一定程度上抑制长范围的频谱泄露，三谱线插值算法也能有效抑制短范围的频谱泄露，但在微电网平台应用过程中，由于微电网间谐波的波动性，会造成插值多项式的变量估计不准确，从而直接导致短范围频谱泄露抑制不明显，相位测量精度不够。文献［4］中提出了一种加窗频移算法，在非同步采样的情况下，可以采用该算法进行谐波测量，该算法一定程度改善了在频率波动下的测量精度问题，但该算法仍依赖于频率估计的准确性。文献［5］采用了插值FFT算法与MUSIC算法相结合的思路进行谐波分析，利用了MUSIC算法本身具有分析数据窗短，抗干扰能力强，能够区分相邻较近的不同谐波量的优点，但未考虑在间谐波扰动情况下，插值FFT算法的不准确性问题，导致相位测量的精度不高。文献［6］提出了拉格朗日时域同步插值算法。有效抑制了采样非同步程度较大，采样窗口较长时，理想插值点有可能不落在插值区间里，且插值运算量较大的不良影响，但所需数据窗较长，实时性不够。在准确区分相邻谱线方面，由于FFT算法本身的局限性，不少学者采用了子空间分解的方法，文献［7-11］分别提出了基于参数模型的 Prony算法、基于非参数模型的MUSIC算法和Root-MUSIC算法、ESPRIT和三线性等算法进行频率估计，对上述方法进行总结，可以发现，基于现代谱估计算法是基于信号自相关性理论及子空间理论，在相对比较短的时间窗内具有很高的频率分辨率。

本文在综合比较加窗插值 FFT算法和Root-MUSIC算法的优点和缺点的基础上，加窗插值FFT算法在分析无噪声扰动和无间谐波扰动时，相位测量的精度比较高，但在扰动情况下，插值多项式系数拟合不准确，测量精度会降低，Root-MUSIC算法可以在比较短的时间窗情况下很好的区分相邻的信号分量，测量的频率精度比较高，同时抗扰动能力强［12］，但计算相位幅值方面计算量比较大。本文将加窗插值FFT算法和Root-MUSIC算法综合运用，在存在间谐波扰动时，修正了由于短范围频谱泄露造成原有插值算法参量不准确的问题，仿真表明，本文所提出改进加窗插值FFT算法能够在间谐波扰动情况下，准确估计基波相位。

1　改进加窗插值FFT算法数学模型

1.1Root-MUSIC算法频率测量实现过程

实际采集的交流电压或电流为实值周期信号，且满足狄里赫利条件，故根据傅里叶级数理论，可将离散谐波信号表示为p个实正弦信号与噪声信号的叠加，即

式中，p为谐波次数；P为最高谐波次数；Ap、fp、pϕ分别第p次谐波的幅值、频率和初相位；N为采样点数；采样率fs，e（n）是与x（n）不相关的零均值且方差为σ2的高斯噪声。

为分析方便，将连续M个（M＞2P）采集量及噪声量分别表示为观测矢量x（n）和噪声矢量e（n），即

式（2）可以简洁的矢量形式表示为

接下来对式（3）建立的数学模型所描述的实值周期信号进行伪谱分析，进而估计其谐波分量的频率分布。

观测矢量x（n）的自相关矩阵Rx也可表示为其外积的期望函数，同时考虑到e（n）与x（n）互不相关，故可得

矩阵Rx的特征值分解可表示为

式中：λk和 uk分别是Rx第k个特征值及其对应的特征矢量，且；US由Rx前2P特征矢量构成，其张成Rx的信号子空间；UN由Rx的后M−2P特征矢量构成，其张成Rx的噪声子空间［3］。

1.2Blackman窗三谱线插值FFT算法

为了减少FFT算法应用过程的频谱泄露，可以选用典型的余弦窗函数。余弦窗的一般表达式为

用采样频率fs对信号x（t）进行均匀采样，得到如式（1）的离散信号。

加窗后得到下列信号：

由于栅栏效应，频谱泄露到整个频带，峰值点k附近幅值最大谱线kα，其左右两边谱线分别为kα−1、kα+1，显然。

三条谱线的幅值可以确定为y0、y1和y2

令α=（y2−y0），δ=k−kα，δ∈［−0.5，0.5］。即

当N较大时，式（12）一般可以简化为α=g（δ），其反函数记为δ=g−1（α）。当窗函数w（n）为实系数时，其幅频响应W（2πf）是偶对称的，因而函数g（⋅）及其反函数g−1（α）都是奇函数。

通过多项式拟合，可以得到Blackman窗三谱线插值FFT算法的拟合多项式：

频率修正公式如下：

相位修正公式：

在仿真过程中，施加微网信号进行加Blackman窗三谱线插值FFT算法校验时，发现如下两个问题：

1）在间谐波波动情况下，插值多项式所得到的频率修正式（13）里的变量δ存在误差增大的问题。

2）间谐波的引入，虽然不会对FFT算法准确估计最大谱线kα产生影响，但会对原有的信号相位谱产生影响，从而式（15）中的这个相位谱会产生不同程度的误差，进而影响真实相位测量的精度。

2　改进加窗插值傅里叶算法实现过程

本文针对加Blackman窗三谱线插值FFT算法的改进主要考虑在间谐波扰动下，加窗后插值多项式参数变量产生误差后参数修正的问题，从频率修正多项式作为着力点，采用子空间分解的 Root-MUSIC算法准确估计实际的基波频率，从而得到了真实谱线与相邻最大谱线之间的误差δ′，此处得到的误差δ′是经过修正的，代入到信号加窗后的多项式里，可以得到修正后相位谱，代入到相位修正式（15）中，就可以得到准确的基波相位。

具体实现过程如下：

1）为了从前文中建立的信号模型中的特征矢量获各信号参数信息，实值求根MUSIC多项式可用式（16）表示：

对上述的多项式求根，所得到的解是镜像对称的，每对根都是共轭的。在其中，共有4p个根，它们的幅值是最大的，同时分布在单位圆上，可解得上述根，即

2）通过实值Root-MUSIC准确估计信号频率，即使在噪声环境复杂的情况下，也能准确地估计出信号的基波频率，将估计出的基波频率1f代入Blackman窗三谱线插值的频率修正式（14），可以求得修正之后的误差δ′。

此处误差δ′就是考虑呢间谐波扰动对相位谱的影响，从而对关键变量误差δ′进行修正。

求解出修正的误差δ′之后，将之代入式（13）中，可得到修正之后的真实谱线值，如式（20）所示：

将修正之后的真实谱线代入式（15）中，便可得到了修正之后的基次谐波的相位值，如式（21）所示：

此处修正之后的加窗插值函数关系式，考虑了间谐波引入对多项式变量的影响，弥补了原有加窗插值FFT算法对间谐波引入时因误差δ不准而造成相位谱不准造成相位测量不准确。具体算法流程如图1所示。

图1　改进加窗插值FFT算法流程图

3　改进加窗插值FFT算法仿真验证

为验证本文所提算法的性能，采用Matlab软件，对加Blackman窗的三谱线插值FFT算法在有无实值Root-MUSIC频率估计下，不同信号特性下的相位精度进行仿真分析。电网中干扰噪声的幅值一般为基波幅值的0～1%，在仿真计算中加入不同信噪比的高斯白噪声［8-9］。

1）算例1：设基波和间谐波信号为

仿真条件设为：采样点数N为500，采样频率为4kHz，f1为间谐波频率，f1在0～80Hz波动波动，选取三种典型窗函数在三谱线插值FFT算法下，观察三种算法的相位测量精度波动情况。

图2　三种典型窗函数三谱线插值FFT算法

从图2中可以看出，三种窗函数三谱线插值FFT算法在间谐波波动时，谱线误差是存在波动的，前面已经叙述，加窗插值的谱线误差是与信号分量无关的，而仿真过程中，却发现谱线误差δ 是变化的，那么可以进一步分析，由此造成的相位谱也是变化的，而原有的加窗插值并未考虑到间谐波的扰动会对相位谱产生变化，从而对相位估计会产生比较大的。

从图3中可以看出，三种窗函数三谱线插值FFT算法相位估计，在间谐波幅值固定情况下，间谐波频率在50Hz附近时，相位估计误差比较显著。

图3　三种典型窗函数三谱线插值FFT算法

2）算例2：仿真验证实值Root-MUSIC算法的频率估计准确性。

经过Matlab进行MUSIC频率估计仿真，如图4所示。

图4　实值MUSIC谱分析的频率估计图

图4可以看出，在加入 30dB的白色噪声后，MUSIC频率估计的精度仍然是比较好的，见表1。相比而言，不经过实值Root-MUSIC频率估计的加窗插值FFT算法在噪声的影响下，特别是30dB以下。

3）算例3：仿真验证本文提出的改进FFT算法的正确性。

考虑到相位测量误差的主要产生原因，下面主要对两种算法在不同信噪比白噪声干扰、不同频率段间谐波和基波频率波动这三种情况下的估计精度进行仿真，仿真结果见表2、表3和表4。

表1　基于实值求根MUSIC频率估计精度

表2　不同算法在不同信噪比白噪声干扰下的相位精度

表3　在间谐波频率波动时不同算法的相位精度

表4　在基波频率波动时不同算法的相位精度

通过比较表2、表3和表4，可以发现，本文所选取的方法在信噪比比较小、间谐波在0～80Hz频率段波动，基波频率在2.5±Hz范围波动的情况下，相比未进行基波频率预估计的加窗插值FFT方法，相位估计的精度有效地改善。

4　结论

1）仿真表明，本文所提出的基于实值 Root-MUSIC改进加窗插值FFT算法在白噪声扰动下，可以很好地估计频率，进而精确估计相位。

2）本文所提算法有效地改善了加窗插值 FFT算法在间谐波扰动情况下相位估计误差问题。

3）本文所提算法虽然计算量比较大，但估计精度还是比较好的，两种算法的结合，可以并行运算，达到了互补的效果。

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Windows and Interpolated FFT Algorithm for Precision Phase Measurement Method Research based on Frequency Estimation with the Method of Root-MUSIC

Wang MaofeiBu JingHou Yang
（Institute of Automation，Nanjing University of Science & Technology，Nanjing210094）

When the high precision phase measurement is made for the field of micro grid，the accuracy of the interpolation polynomial fitting formula formed by the use of the Windows and Interpolation FFT algorithm decreases significantly under the interference of the inter-harmonic，which will decrease the accuracy of phase measurement. In order to solve the problem above，an improved Windows and Interpolation FFT algorithm is proposed in this paper. To obtain the precise frequency of the fundamental harmonic by the use of the Root-MUSIC algorithm，getting the two corrected variables，and the wrong variables in the fitting formula above caused by long range and short range spectrum leakage is fixed. Based on the corrected variables above，the variable in phase correction formula is fixed meanwhile and the precise phase measurement can be achieved. The simulation results show that the algorithm can precisely estimate the frequency of the harmonic under the inter-harmonic disturbance，which has a high accuracy of phase measurement，and anti-noise interference ability of the proposed algorithm is strong.

inter harmonic； windows and interpolated FFT； Root-MUSIC； frequency estimation；phase measurement

王茂飞（1991-），男，南京理工大学在读硕士研究生，研究方向为智能电网及智能变电站。