冯夏男，陈滋利

（西南交通大学 数学学院，成都610031）

巴拿赫格上的几乎弱*Dunford-Pettis算子

冯夏男，陈滋利

（西南交通大学 数学学院，成都610031）

研究了巴拿赫格上的几乎弱*Dunford-Pettis算子及其性质，利用相对弱紧集给出了几乎弱*Dunford-Pettis算子的等价刻画。在巴拿赫格有序连续范数及强GP（强DPrcP）性质或者对偶巴拿赫格有弱单位的前提下，证明了几乎弱*Dunford-Pettis算子为几乎极限全连续算子（几乎Dunford-Pettis全连续算子）。

几乎极限集；相对弱紧集；强GP性质；几乎弱*Dunford-Pettis算子

在巴拿赫格及其算子理论的研究中，人们更关注算子所在空间的性质和算子本身的性质，而特殊算子类的性质一直是重要的研究内容。

几乎弱*Dunford-Pettis算子［1］是随着几乎弱Dunford-Pettis算子［2］和弱*Dunford-Pettis算子［3］的出现而产生的。DENG Yang等［1］用不交序列刻画了此类算子，并得出了此类算子与其他特殊算子的关系。CHEN Jinxi等［4］借助相对弱紧集刻画了此类算子，通过几乎弱*Dunford-Pettis算子把相对弱紧集映成几乎极限集，并通过巴拿赫格中算子的性质得出了几乎弱*Dunford-Pettis算子与几乎极限全连续算子、几乎Dunford-Pettis全连续算子之间的关系。在此基础上，我们研究了巴拿赫格上的几乎弱*Dunford-Pettis算子及其性质，给出了它们的等价刻画，并在巴拿赫格有序连续范数及强GP（强DPrcP）性质或者对偶巴拿赫格有弱单位的前提下，证明了几乎弱*Dunford-Pettis算子为几乎极限全连续算子（几乎Dunford-Pettis全连续算子）的结论。

1　几乎弱*Dunford-Pettis算子的刻画

定义1［1］：设E和F为巴拿赫格，如果对不交的弱零序列和不交的弱*零序列′,有,则称T: E→F为几乎弱*Dunford-Pettis算子。

定义 2［1］：设 E为巴拿赫格，若对不交的弱零序列和不交的弱*零序列′,有 ,则称巴拿赫格E具有几乎弱*Dunford-Pettis性质，也简称E具有aw*DP性质。

定理1：在σ-Dedekind完备的巴拿赫格E上，下列结论是等价的：1）E的每一个相对弱紧集的实体包是几乎极限集；2）对于每一个不交的弱零序列{xn}，子集是几乎极限集；3）E具有aw*DP性质。

证明：先证结论1）推出结论2）。设{xn}为E上不交的弱零序列，则集合显然是E上的相对弱紧集。又由已知条件可知，集合是几乎极限集。

再证结论2）推出结论3）。对于E′上每一个不交的弱*零序列{fn}，有，则由不等式可得E具有aw*DP性质。

最后证结论3）推出结论1）。令A′为E上的相对弱紧集，A为A′的实体包。由文献［5］中定理4.34可知，对于A中不交序列{zn}，有。由以上证明过程可知，对于E′中不交弱零序列{gn}和A中不交序列，故由文献［4］中定理2.5可知A是几乎极限集。

巴拿赫格上的极限算子显然是几乎极限算子，也是弱紧算子，但反过来结论是不成立的。例如，弱紧算子不是几乎极限算子，也不是弱紧算子，但Idl∞却是几乎极限算子。

推论1：在σ-Dedekind完备巴拿赫格E上，下列结论是等价的：1）E具有aw*DP性质；2）是几乎弱*Dunford-Pettis算子；3）对于不交的弱零序列和不交的弱*零序列，有；4）对于不交的弱零序列和不交的弱*零序列，有；5）对于不交的弱零序列和不交的弱*零序列有

下面我们给出判断任意算子为几乎弱*Dunford-Pettis算子的充分必要条件。

定理2：设E和F为巴拿赫格，其中E是σ-Dedekind完备的，则对于算子T: E→F，下列结论是等价的：1）T是几乎弱*Dunford-Pettis算子；2）T把E中相对弱紧子集映成F中几乎极限集子集；3）如果S是把巴拿赫格G映射到E的弱紧算子，则T°S是几乎极限算子；4）若S是l1到E的弱紧算子，则T°S是几乎极限算子。

再证结论2）推出结论3）。设S:G→E为弱紧算子，S( BZ)是E的相对弱紧子集，则由已知条件可知是F的几乎极限集，因而T°S是几乎极限算子。

结论3）推出结论4）是显然的。

最后用反证法证结论4）推出结论1）。设存在E上的不交弱零序列{xn}，F′上的不交弱*零序列{fn}和正数ε，使得

考虑算子S:l1→X，且定义S为，其中为l1中的任一序列。由文献［5］中定理5.26可知S是弱紧的，因此T°S是几乎极限算子，故对任意n∈N，有不等式，其中是l1的一组基。这与已知条件矛盾，因此结论成立。

定义3［5］：如果巴拿赫格E上每一个正的弱零序列依范数收敛于零（每一个不交的弱零序列依范数收敛于零），则称巴拿赫格E具有正Schur性质（Schur性质）。

定义4［6］：如果每一个弱*零序列依范数收敛于零，则称巴拿赫格E具有对偶Schur性质。

定理3：设巴拿赫格E具有序连续范数，则E具有aw*DP性质的充分必要条件是E具有正Schur性质。

证明：先证必要性。假设E具有正Schur性质，则E+中弱零序列依范数收敛于零，故E具有aw*DP性质。

定理4：设巴拿赫格E和E′具有序连续范数，则E具有aw*DP性质的充分必要条件是E具有正对偶Schur性质。

证明：先证必要性。假设E具有正对偶Schur性质，则E中弱零序列是范数有界序列，故E具有aw*DP性质。

显然，每一个具有DP*性质的巴拿赫格也具有aw*DP性质，但该结论反过来不一定成立。例如，是具有aw*DP性质的σ-Dedekind完备的巴拿赫格，但具有正Schur性质却不具有DP*性质，具有DP*性质的可分巴拿赫空间一定具有Schur性质。

由文献［1］中定理2.6可以得出下列推论，该推论给出了aw*DP性质与DP*性质等价的充分必要条件。

推论2：巴拿赫格E具有aw*DP性质与E具有DP*性质等价，只需下列条件之一成立：1）E有弱序列连续格运算，2）F′有弱*序列连续格运算，3）F有弱序列连续格运算。

2　几乎弱*Dunford-Pettis算子与几乎极限全连续算子之间的联系

定义5［8］：设T是从巴拿赫格E到巴拿赫空间Y的有界线性算子，如果E中弱零序列和几乎极限序列依范数收敛于零，则称T为几乎极限全连续算子。

定义6［9］：设T是从巴拿赫格E到巴拿赫空间Y的有界线性算子，如果E中弱零序列和几乎Dunford-Pettis序列依范数收敛于零，则称T为几乎Dunford-Pettis全连续算子。

定理5［8］：设巴拿赫格E和E′有弱单位或E有序连续范数，则下列结论是等价的：1）E有强GP性质；2）对于巴拿赫格F，有aLcc(E, F)=L( E, F)；3），其中aLcc为几乎极限全连续算子的简称。

我们知道，几乎弱*Dunford-Pettis算子是存在的，但它不是几乎极限全连续算子。例如，恒等算子是几乎弱 *Dunford-Pettis算子（因为具有几乎弱*Dunford-Pettis性质），但不是几乎极限全连续算子（因为不具有强GP性质）。

以下结论将说明巴拿赫格上的几乎弱*Dunford-Pettis算子是几乎极限全连续算子。

定理6：若巴拿赫格E、E′有弱单位或E有序连续范数，巴拿赫格F具有aw*DP性质，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pettis算子T: E→F是几乎极限全连续算子；2）E有强GP性质。

证明：先用反证法证结论1）推出结论2）。假设E不具有强GP性质，只需证明几乎弱*Dunford-Pettis算子T：E→F不是几乎极限全连续算子即可得出结论。由于E不具有强GP性质，则E中存在一个满足的弱零几乎极限序列，其中

再证结论2）推出结论1）。设E是使E′具有序单位的巴拿赫格或E具有序连续范数，则由文献［8］中推论2.15可知，E具有强GP性质的充分必要条件是E中每一个弱零序列和几乎极限序列都依范数收敛于零，因而该条件下的每一个算子都是几乎极限全连续算子。

定理7：设巴拿赫格E、E′有弱单位或E有序连续范数，且σ-Dedekind完备的巴拿赫格F具有aw*DP性质，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pettis算子T：E→F是几乎极限全连续算子；2）F是离散的具有序连续范数的巴拿赫格。

证明：先证结论1）推出结论2）。由定理6可知F具有强GP性质，且F是σ-Dedekind完备的，则由文献［5］中定理2.3可知F是离散的具有序连续范数的巴拿赫格。

再证结论2）推出结论1）。由文献［8］中推论3.5可知，离散的具有序连续范数的巴拿赫格上每一个有界线性算子都是几乎极限全连续算子。

如果E′没有弱单位，且E不具有序连续范数，定理6、定理7就可能不成立。事实上，C( K)中每一个弱零的几乎极限序列依范数收敛于零（K是紧Hausdorff空间），因此C( K)上每一个算子都是几乎极限全连续算子，但是C( K)不具有强GP性质。

推论3：设巴拿赫格E、E′有弱单位或E有序连续范数，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pettis算子T：E→l∞都是几乎极限全连续算子；2）E有强GP性质。

推论4：设σ-Dedekind完备的巴拿赫格F、F′有弱单位或E有序连续范数，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pettis算子T: l∞→F 都是几乎极限全连续算子；2）F是离散的具有序连续范数的巴拿赫格。

定义7［5］：如果E+中递增的范数有界序列是依范数收敛的，则称巴拿赫格E为KB空间。

若E为巴拿赫格，则E为离散的KB空间的充分必要条件是E具有强DPrcP性质［9］。可以确定一个算子，使得几乎弱*Dunford-Pettis算子为几乎Dunford-Pettis全连续算子，该结论的证明过程同定理6和定理7。

推论5：设巴拿赫格E、E′有弱单位或E有序连续范数，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pettis 算子T: E→l∞都是几乎Dunford-Pettis全连续算子；2）E有强DPrcP性质。

推论6：设巴拿赫格F、F′有弱单位或有序连续范数，则下列结论是等价的：1）每一个几乎弱*Dunford-Pet tis算子T: l∞→F都是几乎Dunford-Pettis全连续算子；2）F是离散的KB空间。

［1］DENG Y，CHEN Z，GAO N.On Positive Almost Weak *Dunford-Pettis Operators［J］.Positivity，2015，20（2）：283-294.

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【责任编辑王云鹏】

Almost Weak*Dunford-Pettis Operators on Banach Lattices

FENG Xianan，CHEN Zili
（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The almost weak*Dunford-Pettis operators on Banach lattice was studied in this paper.The characteristics of almost weak*Dunford-Pettis operators and its equivalent properties based on relatively weakly compact sets were given.It was proved that almost weak*Dunford-Pettis operators were almost limited completely continuous operators（almost Dunford-Pettis completely continuous operators）under the preconditions that Banach lattice had order continuous norm or its dual Banach lattice had weak unit，if the Banach lattice had strong GP property（strong DPrcP property）.

almost limited sets；relatively weakly compact sets；the strong Gelfand-Phillips property；almost weak*Dunford-Pettis operator

O177

A

2095-7726（2016）09-0004-04

2016-05-14

冯夏男（1990-），女，河南新乡人，硕士，研究方向：泛函分析与线性算子理论。