梁贵书　王雁超

(华北电力大学电气工程学院　保定　071003)



考虑频变参数的油浸式变压器绕组分数阶传输线模型

梁贵书王雁超

(华北电力大学电气工程学院保定071003)

建立精确的变压器绕组模型对于准确分析研究绕组各处的电压分布具有重要意义。导线的趋肤效应和油纸介电常数的频变特性分别是造成变压器绕组传输线模型的阻抗和导纳参数频变的主要因素。然而，以往的变压器绕组传输线模型通常将油纸介电常数的频变特性和导线的趋肤效应忽略，影响暂态过电压分布计算的准确性。该文以具有单弛豫过程的Cole-Cole模型为基础，对油浸纸样品的实测介电常数进行拟合，利用拟合模型和平行板电容公式，推导出变压器绕组传输线模型的分数阶导纳参数，进而建立变压器绕组的分数阶传输线模型。通过对分数阶传输线模型进行仿真计算，得到绕组上的过电压波形，将仿真值与实验实测值以及未考虑频变参数时建立的整数阶传输线模型仿真值进行对比，验证了所提分数阶模型的准确性。

油纸介电常数趋肤效应Cole-Cole模型分数阶模型

0　引言

油浸式变压器是电力系统重要的组成元件，几乎是所有110kV及以上输电网变电站的主变压器，其能否安全、可靠、经济地运行对电力系统影响巨大[1-3]。一个恰当的变压器绕组的等效电路模型是进行快速暂态仿真的关键。目前，变压器绕组模型主要包括低频和中频下的集中参数模型以及采用分布参数理论建立的高频模型[4-12]。文献[4]以变压器单饼或双饼为单元建立了等值集中电路模型，但所得模型的频率范围较低，且容易造成系统不稳定。文献[8]提出了以集中参数和分布参数相结合的混合电路模型，对线圈最容易损坏的前几匝，以线匝为单元构造多导体传输线(Multi-ConductorTransmissionLine，MTL)模型，线圈的其余部分则以线饼为单元进行建模，但存在模型中集中电路部分的元件参数不易确定的问题。文献[9]采用了单导体传输线和多导体传输线相结合的模型，但该模型未考虑饼间互感，其仿真计算结果与实际测量存在较大误差[10]。文献[11，12]将变压器的每匝线圈看成一条传输线，建立了绕组的全多导体传输线模型，这种模型仿真准确度更高，并可以在一个较宽的频率范围下详细反映变压器线圈的电磁过程。

电力变压器的内绝缘主要是由矿物油和纤维纸构成的复合绝缘组成[13]。许多研究者在不同的频率范围内对油纸的介电常数进行了实际测量，测量结果表明，在一定的频率范围内，油纸的介电常数具有较为明显的频变特性[14-17]。然而，以往的变压器绕组模型并未考虑油纸介电常数的频变特性。文献[14]指出，变压器油纸绝缘的介电损耗可能对绕组中快速暂态过电压的分布影响很大，在建立变压器绕组传输线模型时，忽略油纸介电常数的频变特性会影响暂态过电压分布计算的准确性。趋肤效应是指当交变电流通过导体时，导体截面上电流分布因电磁感应作用而不均匀，且越靠近导体表面，电流密度越大的现象，它是对变压器绕组影响较显著的另一个频变效应[18]。以往的变压器绕组传输线模型往往将两个频变特性忽略，对绕组上过电压分布计算的准确性造成影响。因此，需要提出一种同时考虑油纸介电常数频变特性以及导线趋肤效应的更准确的变压器绕组传输线模型。

目前，分数阶微积分理论已被广泛应用于各个领域，如图像处理[19]、线路建模[20]、分数阶控制器[21-23]等。随着分数阶微积分理论发展，电介质的物理现象也可以通过分数阶模型进行解释。A.K.Jonscher指出，对于油纸绝缘这种复合电介质，传统的Debye模型在描述电介质的特性时具有很大的局限性[24]。因此，许多学者对传统的Debye模型进行了改进，提出了含有分数阶项的改进模型，比较经典的有Cole-Cole、Davidsion-Cole等模型[24]。与Debye模型相比，改进后的模型可以更为准确地描述油纸介电常数的频变特性[14]。除此之外，在网络参数宽频建模时，可以利用匹配法对频变参数进行分数阶传递函数的逼近[25]。在变压器绕组建模时，如果考虑趋肤效应的影响，则可以建立多导体传输线分数阶模型，扩展变压器绕组的建模方法[18]。

本文首先采用Novocontrol宽频介电阻抗谱仪对油浸纸样品的介电常数进行测量，然后从Cole-Cole模型出发对实测介电常数进行拟合。在考虑油纸介电常数频变特性的前提下，利用油纸介电常数的拟合模型与平行板电容公式推导出变压器绕组传输线模型的单位长度导纳参数，同时与考虑导线趋肤效应时的单位长度阻抗参数相结合，建立变压器绕组的分数阶多导体传输线模型。最后通过实验与仿真结果验证所建模型在过电压分布计算时的准确性。

1　油纸介电常数的测量

1.1样品制备

本实验采用昆仑25号变压器新油对DLZ-13型电缆纸与E-71-75-0.95型芬兰纸进行浸油处理，两种样品均被裁切为直径为38mm(略大于测量时所用的附加电极直径)的小圆片。浸油过程中需要注意：①在浸油前，样品首先要在烘箱中干燥72h以上，干燥温度设定为110 ℃左右，以保证试样完全烘干；②绝缘纸需要在变压器油中真空浸泡48h以上，浸油条件要保证容器内压力低于133Pa。以上所有油纸样品的制作均严格按照实际变压器油纸生产工艺流程进行。

1.2宽频介电阻抗谱仪测量原理及过程

Novocontrol宽频介电阻抗谱仪的测量频率范围为3μHz～1GHz。在介电常数的测量过程中，样品被固定在样品架的两个电极，即样品电容之间，如图1所示。对样品电容施加幅值为U0、固定频率为f=ω/(2π)的正弦电压u(t)， 即

u(t)=U0cosωt

(1)

设产生的电流i(t)的幅值为I0， 在一般情况下，由于样品介电特性的影响，电流和施加电压之间会出现相位移动，相移角度用φ表示，则

i(t)=I0cos(ωt+φ)

(2)

样品的阻抗为

Z=U/I=Z′+jZ″

(3)

式中，U为电压相量，U=U0；I为电流相量，I=I′+jI″。

样品电容器的阻抗直接与样品的复介电常数相关。该复介电常数为

(4)

式中，C0为未夹样品时电容器的电容，可以表示为

(5)

式中，ε0为真空介电常数；A为两电极正对面积；d为两电极之间的距离。

图1　两电极样品电容器Fig.1　The capacitor with two electrodes

本实验的测量频率范围为50 Hz～10 MHz。在测量过程中，样品架被放置于恒温系统中进行测量，恒温系统中不断有氮气通入，以排除环境中水分对测量的影响。整套测试系统如图2所示。为了保证实测数据的一致性，对每种样品进行3次测量，之后取3次测量的平均值。

图2　介电常数测试系统Fig.2　Testing system of permittivity

2　油纸复介电常数的拟合

2.1复介电常数的拟合模型

经典Debye弛豫模型将复介电常数定义为角频率和弛豫时间常数的函数[26]。K.S.Cole和R.H.Cole在Debye模型基础上引入表示电介质弛豫时间常数分散程度的系数，提出了著名的Cole-Cole模型，拓展了模型的适用范围[27]。

根据介电弛豫理论，在宽频范围内，电介质的介电响应特性通常可以采用包含2个介电弛豫过程的Cole-Cole模型进行描述[28]。双弛豫过程Cole-Cole模型包含α和β两个弛豫过程[29]

ε*=ε

(6)

α和β弛豫过程中的频变项分别在低频和高频范围内对复介电常数虚部产生影响，使其呈现出类似抛物线形的频变趋势[30]。文献[30]指出，当油浸纸样品的介电常数虚部测量值在高频部分出现明显的峰值时，拟合模型才需要考虑β弛豫过程。从图3所示的介电常数实测图形可以看出，当频率达到10 MHz时，两种样品的复介电常数虚部并没有出现峰值，表明β弛豫过程的影响可以忽略。因此，仅需考虑单α弛豫过程的Cole-Cole模型来拟合复介电常数[24]

ε*=ε

(7)

式中，ε为ω趋于无限大时的介电常数；Δεα为α弛豫过程中介电常数的变化；τα为α弛豫时间；α为分布参数，且0<α<1。

2.2简化的Cole-Cole模型

为了获得单弛豫Cole-Cole模型中的各个参数，可以对测量得到的复介电常数曲线进行拟合。本文利用最小二乘法对实测曲线进行拟合。采用的拟合评价函数为

(8)

约束条件为

(9)

拟合结果见表1，其中，复介电常数实部的拟合度R(ε′)与虚部的拟合度R(ε″)被分别给出。由表1中的拟合参数可知，在50 Hz以上频率范围内，Cole-Cole模型分母中的常数项1对复介电常数的影响很小，故将式(7)写为下列简化模型

ε(ω)=ε　(10)表1　单弛豫Cole-Cole模型的参数拟合结果Tab.1　The parameter fitting results of the Cole-Colemodel with one relaxation process

样品ε¥ΔεατααR(ε')R(ε″)DLZ-132.95511.9950.3120.799.30%90.36%芬兰纸2.10940.055 8.00.799.51%87.01%

样品简化模型的参数拟合结果见表2。其中，复介电常数实部和虚部的拟合度均达到85%以上，表明拟合效果较为理想。图3为简化模型曲线与油纸介电常数实测曲线的对比。

表2　简化模型的参数拟合结果Tab.2　The parameter fitting results of the simplify model

图3　复介电常数实测值与拟合值对比Fig.3　Comparison of the measured value and fitted value of complex permittivity

3　含频变参数的油浸式变压器绕组的分数阶传输线模型

3.1含频变参数的变压器绕组多导体传输线电报方程

把变压器绕组导线的每匝看作一根传输线，则整个变压器绕组构成了一个多导体传输线模型。对于连续式线圈模型，这些传输线按线圈绕制关系首尾相连，如图4所示，其中下标s表示线路首端，下标n表示线路末端。

图4　线圈示意图Fig.4　The schematic diagram of the coil

考虑频变参数时，多导体传输线电报方程的复频域形式为

(11)

(12)

式中，Z(s)为计及趋肤效应时的多导体传输线单位长度阻抗矩阵；Y(s)为计及油纸介电常数频变特性时的单位长度导纳矩阵；U(x，s)与I(x，s)分别为N根传输线在x(x=1，2，…，n)处的电压与电流向量，且U(x，s)与I(x，s)均为N×1阶列向量。

3.2计及趋肤效应时变压器绕组的单位长度阻抗参数

计算变压器绕组的单位长度电阻矩阵和电感矩阵时，必须考虑高频下的趋肤效应。

当忽略电流在截面形状不同的导线中的趋肤深度的差异，并假设电流均匀分布在一个趋肤深度的区域内时，单位长度的电阻参数计算表达式[31]为

(13)

式中，Rde为直流电阻矩阵；Rhf为趋肤效应作用下产生的电阻矩阵；h为变压器绕组的导线净金属高度；b为线饼径向厚度；σ、μ分别为导体的电导率与磁导率；E为单位矩阵。

单位长度的电感参数计算表达式[32]为

(14)

式中，L0为在没有高频分量进入铁心时的单位长度电感参数矩阵；L1为在高频情况下，透入导体的磁通产生的电感矩阵，即趋肤效应作用下产生的电感矩阵。

将式(13)、式(14)代入阻抗表达式中，得到计及趋肤效应时变压器绕组的单位长度阻抗矩阵

Z(jω)=R+jωL=Rde+Rhf+jω(L0+L1)

(15)

将f=ω/(2π)代入式(14)，得到

(16)

将式(16)简化为

(17)

式(17)对应的复频域形式为

(18)

3.3计及油纸介电常数频变特性时变压器绕组的单位长度导纳参数

在通常的变压器多导体传输线模型中，电容矩阵由匝间电容Cs、 饼间电容Ct以及靠近铁心与油箱的边匝对地电容Ck和Cw组成，其他线匝的对地电容被边匝屏蔽，故忽略不计[32]。

由平行板电容公式得到单位长度的匝间电容表达式[32]为

(19)

式中，ap为匝绝缘的两边厚度；ε(ω)为匝间绝缘介质的介电常数，即油纸的复介电常数。

将式(10)代入式(19)，得

(20)

单位长度的饼间电容表达式[32]为

(21)

式中，εde为线饼间绝缘的等值介电常数；ad为线饼间绝缘的等值绝缘厚度。

由同轴圆柱电容公式可得单位长度的匝对铁心的电容[33]为

(22)

式中，εwe为匝与铁心间介质的等值介电常数；Ro为线圈的内半径；Ri为铁心的外接圆半径。

单位长度的匝对油箱的电容[32]为

(23)

式中，εwt为匝与油箱间介质的等值介电常数；Rt为油箱内壁的等效半径；Rw为线圈的外半径。

将ε(ω)分别代入εde、εwe与εwt中，得到各个等值介电常数表达式，通过平行板电容公式分别得到单位长度的饼间电容与匝对铁心/油箱电容，即

(24)

因此，变压器绕组的单位长度电容矩阵C为

(25)

传输线的单位长度导纳参数形式如下

=jωC1+C2(jω)1-α+G

(26)

式中，G为单位长度电导参数矩阵。

式(26)对应的复频域形式为

Y(s)=sC1+s1-αC2+G

(27)

3.4油浸式变压器绕组的分数阶模型

将式(18)和式(27)分别代入式(11)和式(12)中，可得到变压器绕组复频域分数阶传输线模型为

(28)

式中，1-α=0.3。

对式(28)进行拉普拉斯反变换，可得时域分数阶传输线方程为

(29)

式(29)对应的微元集中参数等效电路如图5所示。

图5　微元集中参数等效电路Fig.5　The lumped parameter equivalent circuit with micro element

4　仿真及实验结果验证

为验证本文所提变压器绕组分数阶传输线模型的准确性，对所建立的分数阶传输线模型在Matlab下进行仿真计算，分别得到变压器绕组各饼末端的过电压波形，将其与实验系统的实测电压以及不考虑任何频变参数建立的变压器绕组整数阶传输线模型下的电压波形进行对比。图6为实验系统，连续式绕组置于油桶中由昆仑25号变压器新油浸泡48 h以上后，浸油进行过电压测量。本文实验分别选择雷击浪涌发生器和GMY-1型毫微秒高压脉冲源模拟雷电冲击和特快速暂态过电压(Very Fast Transient Over-Voltages，VFTO)，示波器选用Agilent MS06104A四通道数字存储示波器。

图6　实验系统Fig.6　The experimental system

图7和图8分别给出了激励为雷电波和VFTO时，两种模型下第2饼末端的仿真电压以及实测电压波形。表3和表4分别列出了在两种激励下，变压器绕组第2饼末端的电压最大峰值及峰值对应时间的实测结果和仿真计算结果。可以看出，与整数阶模型相比，分数阶模型对电压峰值和峰值对应时间的仿真计算结果与实测结果更吻合，以上结果验证了分数阶模型的准确性。

图7　雷电波激励下的第2饼末端电压波形Fig.7　The voltage waveform of section 2 under lighting wave表3　雷电波激励下的测量与仿真结果Tab.3　The results of measurement and simulationunder lighting wave

模型电压峰值/V电压峰值对应的时间/μs测量值296.001.7分数阶模型297.491.7整数阶模型300.611.6

图8　VFTO激励下的第2饼末端电压波形Fig.8　The voltage waveform of section 2 under VFTO表4　VFTO激励下的测量与仿真结果Tab.4　The results of measurement and simulation under VFTO

模型电压峰值/V电压峰值对应的时间/ns测量值124.0010.7分数阶模型119.66.8整数阶模型114.2547.2

5　结论

本文采用Novocontrol宽频介电阻抗谱仪测量了油纸样品的复介电常数，利用简化Cole-Cole模型对实测介电常数进行拟合，通过拟合模型与平行板电容公式得出变压器绕组单位长度导纳参数的分数阶形式，进而建立了含频变参数的油浸式变压器绕组分数阶传输线模型，得出的主要结论为：本文提出的简化Cole-Cole模型在50Hz～10MHz频率范围内能够较好地描述油纸复介电常数的频变特性。对比不含频变参数的变压器绕组整数阶传输线模型，本文提出的分数阶模型在进行暂态过电压计算时更准确。

本文还有以下几方面不足有待进一步研究与改进：①本文采用的平行板电容法忽略了导体间的边角效应，计算所得的电容参数存在一定的近似；②本文没有考虑绕组中垫块等因素的影响，在计算大型变压器时，需要将垫块等因素考虑周全；③本文忽略了电流在截面形状不同的导线中的趋肤深度的差异，得到的阻抗参数存在一定近似。如果以上不足得以完善，则计算结果将会更加准确。

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Fractional Transmission Line Model of Oil-Immersed Transformer Winding Considering Frequency-Dependent Parameters

Liang GuishuWang Yanchao

(PowerEngineeringInstituteofElectricalEngineeringNorthChinaElectricPowerUniversityBaoding071003China)

Establishingtheprecisemodelofthetransformerwindingshasthevitalsignificanceforanalyzingthevoltagedistributiononthewindings.Thefrequency-dependentcharacteristicsoftheimpedanceparameterandtheadmittanceparameterinthetransmissionlinemodelofthetransformerwindingsaremainlycausedbytheskineffectandthefrequency-dependentcharacteristicsofthepermittivityoftheoil-paperrespectively.However，traditionaltransmissionlinemodelsofthetransformerwindingsoftenignorethefrequency-dependentcharacteristicsofthepermittivityofoil-paperandtheskineffect，whichinfluencetheaccuracyofcalculatingoftransientovervoltagedistribution.ThemeasuredpermittivityoftheoilpapersamplesarefittedbasedontheCole-Colemodelwithonedielectricrelaxationprocess.Bycombiningthemodelwiththecapacitanceformulaofparallelplate，thefractionaladmittanceparametersarederived.Then，thefractionaltransmissionlinemodelofthetransformerwindingsisestablished.Throughthesimulationofthefractionaltransmissionlinemodel，theovervoltagewaveformonthewindingsisobtained.Itisthencomparedwiththeexperimentalwaveformandthesimulationwaveformofthetransmissionlinemodelwithoutconsideringthefrequency-dependentcharacteristicsoftheimpedanceparameterandtheadmittanceparameter.Theresultsconfirmthevalidityoftheproposedfractionalmodel.

Oil-paper，permittivity，skineffect，Cole-Colemodel，fractionalmodel

2015-06-04改稿日期2015-11-22

TM411

梁贵书男，1961年生，教授，博士生导师，研究方向为电网络理论及其应用、电力系统电磁兼容和电力系统过电压及其防护等。

E-mail：gshliang@263.com(通信作者)

王雁超男，1990年生，硕士，研究方向为电力系统过电压及其防护等。

E-mail：bluesnowwyc@163.com

国家自然科学基金(51177048，51407073)、河北省自然科学基金(E2012502009)和河北省科技指导性计划(Z2012033)资助项目。