宋莉莉　杨　帆　潘国峰

(河北工业大学信息工程学院　天津 300401)



Arnold变换与Gray码变换相融合的双置乱算法研究

宋莉莉杨帆潘国峰

(河北工业大学信息工程学院天津 300401)

Arnold置乱由于其简单易懂被应用到数字水印、安全防伪、军事机密等各个领域，并得到了很好的效果。Gray码变换由于其在彩色空间和位置空间都能灵活运用等特点在信息安全中也得到了很好实际应用。但是，由于两种算法相对简单，很容易被入侵者破解，为了提高信息的加密程度和抗攻击性，提出一种Arnold与Gray码变换相融合的双置乱算法，使得加密信息在位置空间和灰度空间上都得到很好的隐藏。实验结果表明，该方法能很好地应用在图像处理方面，为信息隐蔽技术的预处理工作提供更好的保证。

Arnold变换Gray码变换图像置乱信息隐蔽

0　引　言

伴随着互联网的逐渐普及，多媒体技术、信息存储技术的不断发展，越来越多的数字图像信息在网络上传输，并且成为了人们日常生活中获取资源信息的主要途径之一，由此带来的信息安全问题也受到广泛关注。面对越来越多的数字产品的版权和数据安全得不到稳定的保护等现代问题，也因此成为一项备受关注的热点话题和亟待解决的问题。因此对网络中传输的大量数字图像信息如何进行可靠的加密处理，受到众多学者的关注，是网络信息时代一个值得深入研究和探索的课题[1-4]。

图像传输等过程中，为了安全保密，经常对图像进行编码然后解码，编码的目的是防止信息泄露，这就是图像加密。图像加密的方法很多都可以从图像变换方法中找到[5]。

图像置乱是通过相关的变换公式进行编码，从空域改变图像内部信息的排列分布或者从频域彻底改变图像信息内容的一种信息加密技术，主要应用在对数字图像加密的前期预处理和后续解密当中。在需要信息隐藏的网络传输中，置乱技术能很好地消除隐蔽信息间的相关性，增强通信的隐蔽性，设置相应的秘钥对隐蔽信息进行加密处理，还能减小错误比特率以增强秘密信息的鲁棒性[6-9]。目前运用比较广泛的置乱方法越来越多，如Logistic变换、Hilbert变换、仿射变换、Arnold变换、广义Gray码变换、幻方变换、Conway游戏、Fibonacci变换等方法。其中Arnold变换由于简单易懂等特点受到学者们的广泛应用。Gray码变换因应用灵活被运用在图像处理方面，它不仅可以从位置空间改变图像信息，还可以从色彩空间上改变图像灰度值达到处理图像的目的。但是，由于Arnold变换的简单性和周期性，破坏者在知道图像的置乱次数的条件下可以轻易破解加密信息，使得传输者的隐蔽信息被泄露，信息安全得不到保证。为了提高加密信息的安全性，提出首先运用Arnold算法进行置乱加密处理，打乱图像的原始载体信息，然后在此基础上利用后面提到的Gray码变换方法，使加密的图像信息彻底改变，达到双置乱效果。隐蔽信息能够得到更深度的加密保护，提高抗攻击能力，确保隐蔽信息的安全传输。

1　Arnold变换与Gray码变换

1.1Arnold变换

Arnold变换过程可以用矩阵表示如下：

(1)其中x,y∈{0,1,2,…,N-1},N为图像的长和宽。mod是模运算，目的是确保置乱后的图像信息的位置范围不变，仍然落到图像区域内部。(x′,y′)T是图像(x,y)T位置的像素点经过置乱得到的新位置的坐标。经过一次Arnold变换后图像还留有许多原始信息，即并没有完全达到彻底置乱图像的作用。在实际应用中，Arnold变换是指经过多次迭代Arnold变换的结果[10]。运用等式(1)，经过多次反复变换，就得到最终理想的加密置乱图。

设定自然数N>2，Arnold变换公式的周期用mN表示，根据Arnold变换具有周期性的特点，式(2)中的最小自然数n即为Arnold变换的最小正周期：

(2)

图1是一幅380×380大小的图像，经过式(2)计算得到图像的置乱周期为90，对图1(a)的原始图像分别进行10次、90次Arnold置乱，得到图1(b),(c)的变换结果。可见，图像经过周期变换再次恢复到初始图像。

图1　Arnold迭代变换及周期特性

依据Arnold算法的周期性特性，可以较容易实现对信息图像的加密与解密工作，是信息隐蔽技术的一种很好的预处理方法。但是由于Arnold的周期性强，编程实现简单，使攻击者能轻松地破译加密信息，达到拦截信息或篡改信息的目的。发生在一些政治军事上就会危害到国家利益，所以Arnold变换还存在被改进的空间。为此需要想办法加入其他的加密技术，以提高信息的保密度。

1.2Gray码变换

设定变量u为一个非负整数，其二进制形式的表达式对应为u=(upup-1…u1u0)2，令：

gp=up,gi=ui⊕ui+1i=1,2,…,p-1

(3)

得到一个二进制整数g(u)=(gpgp-1…g1g0)2。式(3)就叫作Gray变换，二进制整数g(u)称为变量u的Gray码(格雷码)。其中运算“⊕”为模2加法。

Gray码算法的优点是可以对像素编码进行置乱，从位置空间改变图像信息；也可以不改变位置，对图像灰度值编码进行置乱，也就是从色彩空间上改变图像信息。此算法也可以推广到任意进制情况下的广义Gray码，适用性非常灵活。

根据Gray码变换原理对数字图像进行图像信息加密，也是一种实现图像信息隐藏预处理的方法。置乱变换过程也是加解密的过程，要想有效地进行信息的加密与恢复，得到传输信息，变换的可逆性是至关重要的，即处理的图像能够经过相应的反变换，最终得到复原。

Gray码变换实际上就是异或变换，同理得到Gray码反变换公式：

gp=up,gi=ui⊕gi+1

(4)

图2是经过Gray码变换与相应的反变换置乱得到的变换图像。

图2　Gray码变换与反变换置乱图像

2　Arnold和Gray码相融合的双置乱算法

前面具体讲述了Arnold变换算法的原理，可以改变数字图像灰度信息的分布，达到了信息加密的目的[11]。但是由于Arnold变换的局限性，其周期性强，容易被非法入侵者破解等弱点，使得Arnold变换在实际应用中受到限制[12]。为了使一些重要信息得到更好的隐蔽，就需要更好的加密技术，使得在原有的简单技术上实现深度加密，达到算法的简单易行，又同时提高信息的加密破解难度。本文在运用Arnold变换对图像进行置乱处理的情况下，又附加上另一种置乱方法—Gray码算法。此算法不仅是一种色彩空间域上的置乱方法，通过彻底改变图像的像素灰度值，直方图的总体分布，达到置乱；也可以从位置空间上，通过改变图像信息中像素的具体位置坐标，得到加密处理的图像。基于Arnold和Gray码变换的双置乱变换(为了便于描述，后面将简称 “A&G” 变换)是基于Gray码在色彩空间上的置乱方法。

图3为 “A&G” 变换的流程图。“A&G” 变换是运用两者结合，首先图像的位置空间得到置乱，解除空间相关性，然后解除色彩相关性，达到改变直方图的效果，提高置乱的均匀度。

图3　“A&G” 变换流程图

(5)

其中aij表示像素矩阵中第i行第j列位置上的灰度值，经过σ映射，改变像素坐标的位置。

得到置乱像素新坐标a[i+j,i+2j]N，并得到一次Arnold置乱结果，图像记作A1；

步骤3对步骤2中得到的置乱结果AN的各像素点的像素值，利用式(3)进行Gray码变换，得到最终要加密的目标图像B。

图像置乱起到对图像信息隐蔽的作用，而还原操作也是一种置乱操作，是置乱处理的一个逆过程，是保证信息在安全的情况下能准确无误的传输到解密人手中的一种很好的处理方法。根据置乱的步骤要想恢复置乱图像，首先要对已经置乱的目标图像B进行Gray码反变换，解除Gray码置乱效果，再进行Arnold变换操作，得到原始信息。大体步骤如下：

步骤1首先对得到的加密图像B利用式(4)给出的Gray码反变换公式进行置乱，初步处理结果得到图像AN；

步骤2运用Arnold变换的逆变换公式或者Arnold算法的周期特性等方法，将步骤1中得到的初步还原图像AN恢复到图像A′。对比恢复后的图像A′与原图A的图像信息，证明变换是可恢复的。

3　仿真实验及验证结果分析

用图2中的(a)图作为仿真实验的原始图像，在10×10的尺寸大小情况下对图像进行 “A&G” 算法处理。经过新算法的处理，得到图4显示的仿真效果示意图。其中图4(a)为原始图像的像素信息，图4(b)显示的是经过Arnold算法后的像素信息，同理图4(c)则是经过 “A&G” 变换后的像素信息。

由图4的 “A&G” 变换可知，图像信息经过Arnold变换处理得到新的图像信息，新的图像信息内容没有发生改变，只是改变了原来信息的存储位置。但是经过双置乱变换后的图像，信息发生了改变，改变了原来图像携带的信息，起到了深度加密的目的，对信息隐蔽的深入研究提供了很好的方法。

图4　“A&G”变换信息图

根据Arnold变换与Gray码变换都具有可逆性的原理，在信息隐藏的后期处理中可以将置乱图像复原，解除加密隐藏。例如，一个程序员把加密信息发送给指定要接收的人员后，接收人要根据秘钥原理进行解密处理，实现信息的复原。

运用两种算法相结合的办法，不仅改变了图像的灰度分布，也使图像的灰度值发生了改变，实现了对图像深层加密的目的。对研究数字图像的信息隐蔽技术预处理的后续工作提供了很好的技术前提。

为测试算法的有效性，更加全面地衡量与比较所提算法的置乱效果，进行下面的仿真实验。图5给出仿真实验的原始图像以及其灰度直方图信息，图6为“A&G” 算法对原始图像的变换效果图，并显示图像置乱后的直方图，同时还给出Arnold算法和Hilbert算法的两种置乱变换相对应的处理结果作为参照。

图5　原始图像及其直方图

图6　参数N=7时，Arnold、Hilbert和 “A&G”方法的置乱效果对比图

图6显示，与作为参考的两种现有的方法相比，新提出的置乱方法—— “A&G” 变换经过置乱后得到的图像纹理更细，颗粒更加均匀，更接近于理想的白噪声状态。从人类视觉系统的角度来说，加密图像的相关信息被完全打乱，看不出加密图像的相关内容，置乱效果最好；对比三种变换方法置乱后的灰度直方图，Arnold变换和Hilbert变换处理得到的直方图信息置乱前后没有发生变化，与原始图像的直方图一致，破坏者容易根据截获的直方图信息破解加密信息，窃取重要的信息内容，而这个缺点对于所有基于位置空间变化的图像置乱方法来说也是一个目前急待解决和难以攻克的话题焦点。而经过 “A&G” 变换得到灰度直方图与前两种方法相比差距很大，不仅改变了灰度值，而且处理后的灰度值比原来分布的更加均匀，使整体上得到的置乱图像的灰度值在整个灰度空间上均匀分布。这就证明了在数字水印等需要进行信息隐藏的技术预处理中，新的置乱方法可以将加密信息更加均匀的嵌入到宿主信息中，使后续工作中得到的水印透明性更好，信息隐藏的更加难以察觉[13]。

下面根据文献[13]中定义的比较置乱程度的三个变量，从三个角度来衡量图像的置乱效果。

(6)

从像素的位置空间上说，当变换后的图像像素位置与原图像的像素信息完全一样时，置乱均匀度ED=m2-1-E，此时归一化置乱均匀度ED为1；当变换得到的最终结果达到“均匀”的最佳状态时，此时ED=0。依据概率分布形式归一化处理，ED的取值范围：0≤ED≤1。ED越接近0仿真得到的置乱图像越均匀，加密效果越好，越接近1则效果越差。

(7)

绝对值距离D的值越大说明两个向量的相异度越大，置乱处理后得到的图像的均匀度就越差；反之D的值越小，置乱图像就越接近于置乱“均匀”状态，置乱达到的整体水平就越好。这是针对相异测量的方法。它的归一化形式为：

(8)

归一化后D的范围：0≤D≤1。

根据式(8)的原理，同理也可以运用两个向量夹角的余弦值来体现图像置乱前后变换的相关性，作为相似度进行比较：

(9)

S越小说明两个向量的相似度越小，置乱均匀度越差，得到的加密效果就越不明显；S越大说明两个向量的相似度就越大，置乱就越接近“均匀”的理想状态，得到的评比结果就越好。S的取值范围为0≤S≤1，这是针对相似测量的方法[14]。

依据图6得到的置乱效果图，运用上述三种衡量置乱程度的变量比较三种置乱算法的置乱程度，结果见表1所示。

表1　不同算法的置乱度比较

从表1中可知，随着加密次数的逐渐增加，图像越接近置乱“均匀”状态，只是三种方法的置乱速度不同，显示的效果也就不同。 “A&G” 变换ED趋近0、S趋近1远远好于其他两种方法，D的值也比其他两种方法更加趋近于零。可见，新提出的 “A&G” 算法的置乱效果，远远超出已有的Hilbert和Arnold两种算法所达到的最佳效果。充分证明了新提出的置乱算法能很好地实现对图像的均匀加密处理。且该算法与人类视觉的评价结果一致，能够更好地实现信息加密的目的，对以后在信息隐蔽的实际应用中有重要作用。

4　结　语

在图像置乱技术的研究中，Arnold变换算法因其方法简单、运用方便等特点，被学者们广泛应用于图像加密技术的研究中。通常使用Arnold变换可以实现图像基于像素位置空间的变换，但不会改变图像携带的像素信息，使得加密图像的置乱效果不能达到理想的要求。而且，由于Arnold算法本身存在周期性强、易破解性等缺点，本文在上述方法的基础上又加入Gray码变换算法，提出一种新的置乱方法—— “A&G” 变换，达到对图像进行双层置乱处理的目的。实验证明，运用Gray码变换在色彩空间上的应用，在Arnold置乱处理的基础上，采用两者相融合的方法，在保持原来优点的同时，很大程度上增加了信息的破译难度，实现了对加密图像的双重置乱处理。充分说明了本方法能更好地运用在信息隐蔽技术的预处理中，具有较高的实际应用价值。

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ONDOUBLESCRAMBLINGALGORITHMINTEGRATINGARNOLDTRANSFORMATIONANDGRAYCODEPERMUTATION

SongLiliYangFanPanGuofeng

(College of Information Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

Arnoldscrambling,duetoitseaseofunderstanding,hasbeenwidelyappliedinthefieldsofdigitalwatermarking,securityandanti-counterfeiting,militaryencryption,etc.,andachievesgoodeffect.Graycodepermutationalgorithmhasalsobeenwellappliedininformationsecurity,sinceitcanbeflexiblyimplementedinboththecolourspaceandthepositionspace.However,eitherofthemiseasilycrackedbytheintruders,fortheyarerelativelysimple.Inordertoimprovethedegreeofinformationencryptionandanti-attackproperty,weproposedadoublescramblingscheme,itisessentiallyacombinationoftheArnoldscramblingandtheGraycodepermutationalgorithm,andmakestheencryptedinformationbewellhiddeninboththepositionspaceandthegreyspace.Experimentalresultsshowedthatthisnewschemecouldbewellappliedinimageprocessingasabetterpreprocessorforinformationhidingtechniques.

ArnoldtransformGraycodepermutationImagescramblingInformationhiding

2014-07-29。国家科技重大专项项目(2009ZX02308-004)。宋莉莉，硕士，主研领域：智能信息处理，图像处理。杨帆，教授。潘国峰，教授。

TP391

ADOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.03.072