李　钰, 严建军, 李江荣

(1.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000；2.延安职业技术学院，陕西 延安 716000)



关于一类广义半无限向量分式规划的对偶性研究

李钰1*, 严建军1,2, 李江荣1

(1.延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000；2.延安职业技术学院，陕西 延安 716000)

利用(F,α,ρ,d)K-V-凸性定义，讨论了一类广义半无限向量分式规划的对偶结果。

广义半无限向量分式规划； (F,α,ρ,d)K-V-凸函数；对偶；弱对偶

近些年，关于凸性理论，已有很多文献进行了研究。文献[1]引入了(F,ρ)-凸函数，文献[2]对之进行了推广，建立了广义的(F,ρ)-凸函数。文献[3]建立了更为广义的凸性条件，提出(F,α,ρ,d)-凸函数。文献[4]在(F,α,ρ,d)-凸性条件下研究了非光滑多目标分式规划问题的对偶定理。

作者利用文献[5]和[6]中广义(F,α,ρ,d)K-V-凸性定义，建立了半无限向量分式规划(FP)的Lagrange型对偶模型(FD)，得到了一类广义半无限向量分式规划的弱对偶定理。

1　预备知识和基本概念

定义1.2称泛函F:Rn×Rn×Rm→R是次线性的,如果对∀x1,x2∈Rn,有

(i)F(x1,x2;a1+a2)≤F(x1,x2;a1)+F(x1,x2;a2),∀a1,a2∈Rm;

(ii)F(x1,x2;ra)=rF(x1,x2;a),∀a∈Rm,r∈R,r≥0。

定义1.3[8]映射K:2X×X→2X称为局部渐近锥, 若对每一个集M⊆X和每一点x∈X,锥K(M,x)具有以下性质:

(i)K(M,x)=K(M-x,0);

(iv)K(M,x)=M, 对∀x∈intM;

(v)K(φ(M),φ(x))=φ(K(M,x)),这里φ:X→X为任一线性同胚;

(vi)O+M⊆O+K(M,x)。

我们已经提出了如下的定义[6]：

定义1.4设f是定义在非空开集X⊂Rn上的实向量函数,f:X→Rp,其每个分量fi是局部Lipschitz连续的,如果∃F:X×X×Rn→R是次线性函数,函数α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部渐近锥K,如果对于∀x∈X,有fi(x)-fi(x0)≥F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0),∀ξi∈∂Kfi(x0),i=1,…,p,

则称f=(f1,…,fp)在x0∈X处是(F,α,ρ,d)K-V-凸的。

定义1.5设f是定义在非空开集X⊂Rn上的实向量函数,f:X→Rp,其每个分量fi是局部Lipschitz连续的,如果∃F:X×X×Rn→R是次线性函数,函数α=(α1,…,αp)Τ,αi:X×X→R+{0},d:X×X→R,ρ=(ρ1,…,ρp)Τ,ρi∈R和局部渐近锥K,如果对于∀x∈X,有

fi(x)-fi(x0)<0

⟹F(x,x0;αi(x,x0)ξi)+ρid2(x,x0)<0,

∀ξi∈∂Kfi(x0),i=1,…,p,

则称f=(f1,…,fp)在x0∈X处是(F,α,ρ,d)K-V-伪凸的。

定义1.6设f是定义在非空开集X⊂Rn上的实向量函数,f:X→Rp,其每个分……