李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)



END样本最近邻密度估计的相合性

李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)

在END样本下研究最近邻密度估计的相合性，给出弱相合性、强相合性、一致强相合性以及它们的收敛速度的充分条件， 同时研究失效函数估计的一致强相合性.

END样本;最近邻密度估计;相合性

0　引言

1　引理

为了证明本文中定理，先给出几个引理.

引理1[4]设{X1，X2，…，Xn}是END变量.

(1) 如果f1,f2,…,fn均为非降(或非增)函数，则随机变量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是END的.

引理2[13]设{Xi,i≥1}为END随机变量序列，EXi=0,ai≤Xi≤bi,(i=1,2,…)，则∀ε>0，有

记ξ=I(Xi

因此P(supx|Fn(x)-F(x)|>ετn)≤Cn-2.由此即得结论，证毕.

引理5设X1,X2,…,Xn为END样本，F(x)为连续的分布函数，则

引理5的证明取τn=n-1/2(logn)1/2loglogn，由引理4即得，证毕.

引理6设X1,X2,…,Xn为END样本，EXi=0,|Xi|≤b，(i=1,2,…),10,有

2　主要结果及证明

推论1设f(x)在x处满足局部Lipschitz条件且f(x)>0,若取kn=[n3/4(logn)1/4]，t=2，则当n→∞时，有|fn(x)-f(x)|=o(qn)a.s..

推论2设f(x)在R1处满足Lipschitz条件.若取kn=[n2/3(logn)1/3]，t=2,则当n→∞时，有

定理5设定理2的条件满足，则对任何F(c)<1的c，均有

定理6设定理4的条件满足，则对任何F(c)<1的c，均有

在独立的情形下fn(x)强相合的最优速度是n-1/3，一致强相合的最优速度是n-1/4，在这里推论1和推论2说明fn(x)的强相合速度是n-1/4，一致强相合的速度是n-1/6与独立情形还有距离，但是这里强相合速度和一致强相合速度与文献[13]在NA样本t=2的特殊情形下一样，在这里得出相合性的最优收敛速度与t的值成正比，t越大，相合性的收敛速度越优，要想得到最优收敛速度，就要在指数不等式中提高t的取值，因而需要更好的指数不等式.

Ax={|fn(x)-f(x)|>ε}⊂

由于bn(x)→0,cn(x)→0且F′(x)=f(x)，所以当n→∞时，有

因此，当n充分大时，有

(1)

(2)

同理由(2)式，有

因此就有

Ax⊂B1x∪B2x∪B3x∪B4x

(3)

记ξi=I(Xi

(4)

同理，有

(5)

于是，由式(3)和式(5)，有

由引理7和Bore……