万成高， 李艺璇， 邢韵

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)



一类随机变量序列线性形式的强稳定性

万成高， 李艺璇， 邢韵

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)

研究一类随机变量序列线性形式的强稳定性，得到这类随机变量序列具有线性形式强稳定性的充分条件.

随机变量序列；线性形式；强稳定性

称随机变量序列{Xn,n≥1}是尾概率一致有界的，若存在非负的随机变量X及正常数C，使对任意的x及n≥1，都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x)成立，此时记为{Xn}

约定：文中出现的C总表示正常数，它在不同的地方可以代表不同的值.IA表示集合A的示性函数.记

引理1设X为随机变量，且对任意的x>0，都有P(|X|>x)≤CP(V>x)，其中V为非负随机变量，C>0为常数，则对任意的x>0,q>0，有E|X|qI{|X|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.

有

引理2设{an,n≥1}和{bn,n≥1}是任意的两个正实数列，cn=bn/an,bn↑∞,{Xn,n≥1}为零均值的随机变量序列且{Xn}0，定义N(x)=Card{n:cn≤x}，若其满足：

(i)EN(X)<∞;

引理2的证明因为

由Kronecker引理知引理2的结论成立.

(i)EN(X)<∞;

由于

由引理1有

因此有

(1)

以及

(2)

上面最后一个不等式成立基于下列事实：

推论1的证明由定理1及引理2即得.

(i)EN(X)<∞;

定理2的证明只证{Xn,n≥1}⊂Hp的情形.由于

由引理1有

(3)

(4)

(i)EN(X)<∞;

由于

(i)EN(X)<∞;

由条件(i)，(ii)有

(i)EN(X)<∞;

下文中总是记α(x):→是正的非降函数，且满足

(A)bn→∞;

(C)xα(log+x),x>0是非降的.

定理5设{Xn,n≥1}是同分布的的随机变量序列，E|X1|α(log+|X1|)<∞，如果{Xn,n≥1}满足下列两条件之一：

定理5的证明因为0<α(x)↓,bn↑∞.由条件(B)，可选取m0≥1,α>0,β<0使得当n≥m0时

αn≤cnα(logcn)≤βn

(5)

于是有

(6)

从而有

(7)

先证(i)，只证{Xn,n≥1}⊂H2的情形.对n≥m≥m0,由(5)式有cn≥αn(α(logcn))-1，从而

这里m≥m0.于是当m≥m0时有

O(1)+Cβα-2E|X1|α(log+|X1|)<∞,

再证(ii)，同样只证{Xn,n≥1}⊂H1的情形.由于

(8)

取c0=0有

(9)

如果{Xn,n≥1}不是同分布的，我们有下面的结论.

定理6的证明只证{Xn,n≥1}⊂Hp的情形，并采用定理5同样的证明方法，易得

(3) 对ρ混合、φ混合等序列，当ρ(n)、φ(n)等满足一定条件时，其混合序列{Xn,n≥1}⊂Hp，其中1≤p≤2这里不一一列举.

[1] J……