凯歌

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特　010070)

高阶常系数齐次线性微分方程的解法

凯歌

（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010070)

0　引言

求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。本文是对几种类型的高阶常系数齐次线性微分方程的不同解法进行总结，分别对常系数齐次线性微分方程和欧拉方程、可降阶的高阶微分方程给出定义，应用变量替换法解齐次微分方程，降阶法求高阶微分方程，并且用具体的实例分析了常微分方程的应用。

1　基本方法的归纳总结

1.1常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

（1）常系数齐次线性微分方程

定义设齐次线性微分方程中所有的系数都是常数，即：

这里的a1，a2，…，an代表常数。式（1）就被称作是n阶常系数齐次线性微分方程。

用通解的解法能够得出：

其中F（λ）=（λn+a1λn-1+…+an-1λ+an）是的n次多项式。所以x=eλt为方程（2）的充要条件是λ是：

的根。因此，式（2）是式（1）的特征方程，式（2）就叫做特征根。下面种常见情况分别进行讨论。

①特征根是单根的情形

设λ1，λ2，…，λn，代表特征方程（2）的n个不等根，所以相应的式（1）有n个解：

若λi（i=1，2，…，n）是实数，那么式（3）是式（1）的n个线性无关的实值解，而式（1）的通解可写成x=c1eλ1t，c2eλ2t，…，c3eλnt，其中c1，c2，…，cn是任意的常数。

如果出现复根，那么因为方程是实常数的系数，复根会以共轭形式成对的表达。如果λ1=α+βi是一个特征根，那么λ1=α-βi就也是特征根，式（1）的复值解。

因为实部和虚部也是方程的解，所以有两个实……