马晓艳，屠国燕

(1.浙江理工大学理学院，杭州 310018；2.同济大学浙江学院，浙江 嘉兴 314051)



Grötzsch环函数的几个不等式

马晓艳1，屠国燕2

(1.浙江理工大学理学院，杭州 310018；2.同济大学浙江学院，浙江 嘉兴 314051)

建立了Ramanujan模方程中Grötzsch环函数μ(r)与第二类完全椭圆积分ε(r)及拟共形理论中的Hübner函数m(r)之间的关系，并通过研究μ(r)与某些初等函数及特殊函数组合的单调性，获得了μ(r)的几个不等式，利用这些结果给出了μ(r)+logr的上下界，从而改进了已知的此类估计，同时给出了μ(r)形如Landen恒等式的不等式形式。所得结果有助于研究Ramanujan模方程理论。

Gauss超几何函数；Grötzsch环函数；Ramanujan模方程；不等式

0　引　言

对于实数a,b,c(c≠0,-1,-2,…)，Gauss超几何函数定义为：

F(a,b;c;x)=2F1(a,b;c;x)

(1)

其中：当a≠0时，(a,0)=1；而当n=1,2,…时，

(a,n)=a(a+1)(a+2)(a+3)…(a+n-1)

(2)

(3)

R(a,b)=-Ψ(a)-Ψ(b)-2γ,

(4)

γ是Euler-mascheroni常数。

超几何函数在几何函数论、数论等数学分支中有着重要的作用，作为Gauss超几何函数的特殊情况，Legendre第一类、第二类完全椭圆积分为：

(5)

(6)

κ(r)满足Landen恒等式：

(7)

用B2表示平面上单位圆盘，μ(r)表示平面Grötzsch极值环B2[0,r](0

(8)

函数μ(r)在拟共形和拟正则理论中具有特殊重要性[1-2]，它在解析函数论和数论等数学分支也有不少应用。

对任意的r∈(0,1)，符号差为2的p(>1)次经典模方程[3]即为下面的方程：

(9)

利用函数μ(r)可将方程(9)及其解(称为奇异值)s依次表示为：

μ(s)=pμ(r)和s=φ1/p(r)

(10)

其中φK(r)=μ-1(μ(r)/K)为Hersch-Pfluger偏差函数[1]，因此可借助于μ(r)和φK(r)的性质来研究方程(10)及其解s。

由Landen恒等式(7)及定义(8)，可得到模函数μ(r)的恒等式(参见文献[4]中5.2节)：

(11)

受这些恒等式的启发，本文通过研究拟共形映照理论中平面Grötzsch环μ(r)与特殊函数及某些初等函数的组合函数的单调性，获得了μ(r)满足的一些不等式，所得结果有助于进一步研究Ramanujan模方程理论。