颜荣芳,毕　涛

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州　730070)



随机中断下双源供应链的最优订购模型

颜荣芳,毕涛

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)

在随机中断环境下建立了由两个不可靠供应商和一个零售商组成的双源供应链的随机报童模型.就无约束和预算费用约束两种情形,给出了零售商的最优订购策略,进而分析了随机中断时刻对最优订购数量和零售商最大期望利润的影响,证明了零售商最优订购量的存在性.最后通过数值实例分析了随机中断时刻对订购数量和最大期望利润的具体影响.

随机报童模型;双源供应链;随机中断时刻;最大期望利润;预算费用

0　引言

随着企业材料采购、业务外包与单源供应等业务模式的发展以及自然与人为灾难性事故的频频发生,供应链中断越来越频繁.供应链中断是指由于一些自然灾害或人为因素(经济的或政治的)导致的供应商、制造商、零售商以及消费者之间既定物流、资金流和信息流的中断[1-3].供应链中断可能造成递送的延误、成本的增加,甚至可能导致供应链节点企业的破产.2000 年爱立信惟一的芯片供应商遭遇的火灾导致供应中断,爱立信因此蒙受了高达 17 亿美元的巨额亏损,爱立信从此淡出市场.2011 年发生在日本的“3·11大地震”和海啸,使日本的汽车制造业蒙受了巨大的损失,同时也导致亚洲和北美地区许多汽车制造业零部件供应临时中断.Adegoke 等[4]将供应链中断风险分成三大类:第一类是供应风险,即供应商为顾客提供产品或服务时发生中断事件而导致的供应中断;第二类是需求风险,如经济因素和需求变化而导致的需求中断;第三类是其他类型的风险,如政府法规的颁布导致企业生产的中断.本文主要讨论第一类供应风险——供应中断.

近年来，关于供应中断的研究引起了学术界和管理部门的普遍关注.Parlar等[5]成功地将供应中断引入到经典经济订购批量(EOQ)问题的研究,建立了具有供应中断的经济订购批量模型,并运用更新酬劳过程的理论和方法得到了订购量的平均成本函数；Mohebbi[6]运用连续时间马尔科夫链的理论和方法,讨论了具有随机提前期和随机需求的连续盘库库存问题,建立了连续盘库库存系统的(R,Q)模型；Snyder等[7]在需求不确定和供应不确定条件下分析了冗余供应商预防供应中断以及缓解中断冲击的作用；Yang等[8]考虑了由一个制造商和一个零售商组成的供应链系统在中断信息不对称情形下的供应链协调问题,分析了制造商风险管理策略对供应链协调的影响；Keren[9]在确定需求条件下研究了单周期供应链的最优随机供给与最优库存管理问题；Meena等[10]通过对引起供应链中断的突发事件的合理分类,研究了供应中断下服务水平的界定和供应商的最优选择问题；Xanthopoulos等[11]基于两个供应商独立中断情形,在零售商具有风险中性和风险厌恶两种情形下研究了单周期报童库存模型.然而,上述研究仅仅考虑在一个周期内供应链是否发生中断,而忽略了中断时刻对供应链的影响.事实上,发生在不同时点的供应中断对供应链造成的影响是不同的.因此,本文讨论中断时刻对零售商最优订购策略及最大期望利润的影响.

本文的研究还涉及双源供应链的管理.双源供应链属于多源供应链的研究范畴，相对于单源供应链,多源供应链能够有效地分散供应商供应中断风险,更大程度地保证供应链的稳定运行.因此关于多源供应链的研究一直是学术界和工业界密切关注的热点问题.Mohebbi等[12]通过对缺货情形下单货源和双货源成本问题的分析,建立了具有复合泊松需求和指数分布交货期的销售库存管理模型,给出了库存管理的最小成本；Yi 等[13]进一步讨论了制造商既可以从常规供应商,也可以从现货市场购进原材料的供应链的最优采购决策问题,并得到了类似于经典(s,S)结构的采购策略；Lyon[14]探讨了运用双源供应策略降低政府(企业)采购成本的可行性；Sting等[15]基于供应能力和顾客需求的联合分布研究了由一个不可靠供应商和一个可靠备份供应商组成的供应链的最优订货策略；Oberlaender[16]建立了具有两个供应商的单产品拓展报童模型,并着重讨论了决策者风险偏好对最优订购策略的影响；Chen 等[17]在确定需求下研究了具有一个制造商、一个不可靠供应商以及一个可靠备份供应商供应链的最优决策问题,分析了备份供应商的相对公平性关注对供应链运行的影响.本文工作至少在两个方面有别于上述文献:一是假定两个供应商都不完全可靠,二是供应链存在预算约束.

1　模型描述与基本假设

图1　单产品双源供应源Fig 1Dual-sourring supply chain with one product

在讨论零售商的最优订购决策之前,为了方便起见,先将本文用到的符号归纳如下：Qi为零售商i的订购量，X为市场需求(随机变量)，p为单位产品的销售价格，L为销售周期长度，ci为单位产品的订购价格，v为单位产品的处理价格，s为单位产品的缺货罚金，e为单位产品的促销费用，h为单位产品的缺货费用，w为总预算费用，Ti为供应商i的中断时刻(随机变量)，F(x)(f(x))为X的分布函数(密度函数)，Gi(t)(gi(t))为Ti的分布函数(密度函数)，φj(Q1,Q2)为第j渠道预算费用约束函数.

不失一般性,假定s>p>ci>v,即缺货罚金高于售价,售价高于订购价,订购高于处理价.缺货罚金高于售价是因为考虑到缺货机会成本以及零售商商誉的损失.

2　无约束模型

当第i个供应商在时刻Ti(Ti∈[0,L])(i=1,2)发生中断时,由经典报童模型容易得到零售商单周期期望总利润函数为

g1(t1)g2(t2)dt1dt2.

于是

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2+

(1)

从而,零售商的决策问题可以表示为如下的最优化问题:

(P)maxG(Q1,Q2).

下面的命题1揭示了模型(P)最优解的存在性.

命题1(i) 期望利润函数E[G(Q1,Q2)]是关于Q1,Q2的联合凹函数.

(ii)模型(P)的最优解Q*1,Q*2(最优订购批量)满足方程组:

(2)

(3)

证明( i ) 由(1)式得到

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2,

g1(t1)g2(t2)dt1dt2.

根据Schwarz 不等式,我们有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,E[G(Q1,Q2)]是关于Q1,Q2的联合凹函数.

( ii )由E[G(Q1,Q2)]最大化的一阶条件立即得到(2)和(3)式.】

3　带有预算费用约束的模型

众所周知,任何零售商都会受到资金投入的约束.下面我们基于预算约束讨论零售商的最优订购问题.

3.1带有一般预算费用约束的订购模型

零售商订购某种商品时,最先想到是成本花费.下面给出订购总花费不超过w的一般约束情况下的模型:

其中

显然模型(P1)是关于Q1,Q2的凸规划问题.令

其中λ1是拉格朗日乘数，则模型(P1)转换为模型

模型(P2)的最优解满足K-T条件:

命题2模型(P2)的最优解为:

(i)当φ1(Q1,Q2)

(ii)当φ1(Q1,Q2)≥w时,最优Q†1,Q†2可通过求解下列方程组得到：

(4)

证明φ1(Q1,Q2)

3.2带有缺货预算费用约束的模型

零售商订购某种商品时,需要对需求情况进行预测,这样就会出现订购量不能满足需求的情况,出现缺货会受到惩罚,这时需在资金总量中拿出一部分去支付罚金,或为恢复名誉支付相关费用.下面给出这种情况下的模型

其中

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2.

命题3(i)模型(P3)是关于Q1,Q2的凸规划问题.

(ii)模型(P3)的最优解为:

(a) 当φ2(Q1,Q2)

(b)当φ2(Q1,Q2)≥w时,最优Q†1,Q†2可通过联立下列方程求解得到：

g1(t1)g2(t2)dt1dt2=

(5)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2=

(6)

(7)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2>0.

根据Schwarz 不等式,我们有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,φ2(Q1,Q2)是关于Q1,Q2的凸函数.由命题1可知,E[G(Q1,Q2)]是关于Q1,Q2的联合凹函数,所以模型(P3)是关于Q1,Q2的凸规划问题.

( ii )令

其中λ2是拉格朗日乘数，则模型(P3)转换为模型

模型(P4)的最优解满足K-T条件:

当φ2(Q1,Q2)

3.3带有存货预算费用约束的模型

零售商在订购某种商品时,需要对需求情况进行预测,这样就会出现订购量超过需求的情况,出现多余商品要保存,这时在资金总量中要考虑(保存金)处理损失，这种情况对应的模型是

其中

f(x)g1(t1)g2(t2)dxdt1dt2.

命题4(i) 模型(P5)是关于Q1,Q2的凸规划问题.

(ii)模型(P5)最优解为:

(a)当φ3(Q1,Q2)

(b)当φ3(Q1,Q2)≥w时,最优Q†1,Q†2可通过联立下列方程求解得到:

(8)

(9)

(10)

g1(t1)g2(t2)dt1dt2>0,

根据Schwarz 不等式,我们有

g1(t1)g2(t2)dt1dt2·

g1(t1)g2(t2)dt1dt2-

因此,φ3(Q1,Q2)是关于Q1,Q2的凸函数.由命题1可知,E[G(Q1,Q2)]是关于Q1,Q2的联合凹函数,所以模型(P5)是关于Q1,Q2的凸规划问题.

( ii )令

其中λ3是拉格朗日乘数，则模型(P5)转换为模型

模型(P6)的最优解满足K-T条件:

当φ3(Q1,Q2)

4　数值算例

考虑由两个供应商和一个零售商组成的单周期供应链.设单位产品销售价格p=50元,单位产品订购成本c1=20元,c2=30元,单位产品处理价格v=10,单位产品缺货罚金s=15元.在参数的假定下,中断时刻的变化会对最优订购量和最大期望利润产生一定的影响.假定零售商所面临的市场需求X服从正态分布,所对应的均值为 400,方差为 130；供应商所面临的随机中断时间服从单周期[0,6]上的均匀分布.图2-3解释了无约束模型下,需求X服从正态分布时中断时刻对零售商的订购量和期望利润的影响.

(a)t1=1,t2=1

(b)t1=2,t2=2

(c)t1=2,t2=3

(d)t1=6,t2=3 图2　中断时刻对最优订购量和期望利润的影响

Fig 2The optimal ordering quantity and expectation profit with respect to different disruption time

图3　不同t1,t2下的期望利润

Fig 3The expectation profit for differentt1andt2

5　结论与展望

风险管理已成为供应链管理中至关重要的问题,它与企业的盈利能力息息相关.一旦企业选择被动地接受中断风险,必定会受到经济损失和竞争衰退的侵蚀.供应中断的风险意识使有效的中断管理策略成为必需.一个有效的采购策略不仅能够增强供应链的应变能力,也能有效地缓解供应链成员之间的摩擦,进而保证企业健康稳定地发展.在随机中断环境下,我们建立了一个由两个不可靠供应商和一个零售商组成的双源供应链的随机报童模型,一方面,我们以零售商期望利润最大化为出发点,基于无约束和带有预算费用约束两种情形,寻找最优订购策略；另一方面,鉴于供应中断可能发生在整个供应阶段的任何时刻,我们考虑了随机中断时刻对最优订购数量和零售商最大期望利润的影响.本文提出的决策方法框架是通用的,不仅可以应用到正向供应链,也适合各种类型产品回收的逆向供应链(再制造等).从约束的层面考虑,也适用于服务水平约束、容量约束等问题的研究.

本文研究还可以从以下几个方面继续深入:

1)模型还可以扩展到多个相互竞争的供应商和多个相互竞争的零售商组成的多周期情形；

2)数值例子只考虑了需求X服从正态分布的情形,对于X服从其他分布的随机中断时刻问题的研究有待进一步考虑；

3)可以研究在供应中断信息不对称条件下的随机中断时间问题.

[1]HENDRICKSK,SINGHALVR.Anempiricalanalysisoftheeffectofsupplychaindisruptiononlong-runstockperformanceandequityriskofthefirm[J].Production and Operations Management,2005,14(1):35.

[2]CHOPRAS,MEINDLP.Supply Chain Management:Strategy,Planning and Operation[M].NewJersey:PearsonPrenticeHall,2007.

[3]CRAIGHEADCW,BLACKHURSTMJ,RUNGHUSANATHAMRB.Theseverityofsupplychaindisruptions:Designcharacteristicsandmitigationcapabilities[J].Decision Science,2007,38(1):131.

[4]ADEGOKEO,MOHANG.Managingdisruptionsinsupplychains:Acasestudyofretailsupplychain[J].Int J Production Economics,2009,118(1):168.

[5]PARLARM,BERKIND.FuturesupplyuncertaintyinEOQmodels[J].Naval Research Logistics,1991,38:107.

[6]MOHEBBIE.Supplyinterruptionsinalost-salesinventorysystemwithrandomleadtime[J].Computers and Operations Research,2003,30(3):411.

[7]SNYDERLV,SHENMZ.Managingdisruptionstosupplychains[J].The Bridge Linking Engineering and Society,2006,36(4):39.

[8]YANGZB,AYDING,BABICHV,etal.Supplydisruption,asymmetricinformation,andabackupproductionoption[J].Management Science,2009,55(2):192.

[9]KERENB.Thesingle-periodinventoryproblem:extensiontorandomyieldfromtheperspectiveofthesupplychain[J].Omega,2009,37(4):801.

[10]MEENAPL,SARMAHSP,SARKARA.Sourcingdecisionsunderrisksofcatastrophiceventdisrupt-tions[J].Transportation Research PartE,2011,47(6):1058.

[11]XANTHPPOULOSA,VLACHOSD,LAKOVOUE.Optimalnewsvendorpoliciesfordual-sourcingsupplychains:Adisruptionmanagementframework[J].Computers & Operations Research,2012,39(2):350.

[12]MOHEBBIE,POSNERJM.Soleversusdualsourcinginacontinuous-reviewinventorysystemwithlostsales[J].Computers & Industrial Engineering,1998,34(2):321.

[13]YIJ,SCHELLERWA.Dualsourcingfromaregularsupplierandaspotmarket[R].GSIA-CarnegieMellonUniversity,WorkingPaper,2003.

[14]LYONTP.Doesdualsourcinglowerprocurementcosts[J].The Journal of Industrial Economics,2006,54(2):223.

[15]STINGFJ,HUCHZERMRIERA.Ensuringresponsivecapacity:howtocontractwithbackupsuppliers[J].European Journal of Operational Research,2010,207(2):725.

[16]OBERLAENDERM.Dualsourcingofanewsvendorwithexponentialutilityofprofit[J].International Journal of Production Economics,2011,133(1):370.

[17]CHENJun-lin,ZHAOXiao-bo,SHENZuo-jun.Thehorizontalfairnessconcernofbackupsupplierinatriadicsupplychain[R/OL].http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2015703,2015-09-01.

(责任编辑马宇鸿)

Optimal ordering model of dual-sourcing supply chain with random disruption time

YAN Rong-fang,BI Tao

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

This paper develops a dual-sourcing supply chain for random newsvendor model composed of two unreliable suppliers and one retailer under random disruption environment.On unconstrained and budget cost constraints both cases,the optimal ordering strategy of the retailer is given,and the effect of disruption time to the optimal ordering quantity and the maximal expection of the retailer are analysed,and the existence of retailer’s optimal ordering quantity is proved.Finally,the specific effect of disruption time to ordering quantity and the maximal expection profit is explained through the numerical example.

random newsvendor model;dual-sourcing supply chain;random disruption time;maximal expectation profit;budget cost

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.03.006

2015-09-19;修改稿收到日期:2015-11-10

国家自然科学基金资助项目(71061012);甘肃省科技支撑计划资助项目(1104GKCA030)

颜荣芳(1964—),男,甘肃武山人,教授,博士研究生导师.主要研究方向为应用概率统计、可靠性理论及金融统计.E-mail:yanrf@nwnu.edu.cn

F 270.7

A

1001-988Ⅹ(2016)03-0022-08