☉北京师范大学附属中学　毛玉忠

北京中考数学“新定义”试题解题策略——直观中有逻辑，逻辑中有直观

☉北京师范大学附属中学毛玉忠

自2012年以来，北京中考数学试题中每年都有以“新定义”为背景的代数与几何综合性试题，且放在试卷最后，突出考查学生获取知识的过程及学生的综合解题能力，涉及数形结合及分类讨论思想，对考生分析与解决问题的能力及数学素养要求很高，达到了对高端考生选拔的目的.

这类试题的出现，除了达到对高端考生的选拔目的，也凸显了“以考促教”的策略，反映时代对数学教育改革的要求，追求对学科本质的考查，突出对创新精神和实践能力的考查，不断渗透新课程理念，有利于促进教师教学理念的更新与实践的不断深入.

一、试题的几种解法

题目：（2016年北京中考数学第29题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图1为点P、Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A、B的“相关矩形”的面积；

图1

图2

解：（1）①如图2，矩形AEBF为点A（1，0）、B（3，1）的“相关矩形”.

可得：AE=2，BE=1.

则点A、B的“相关矩形”的面积为2.

②由点A（1，0），点C在直线x=3上，点A、C的“相关矩形”AECF为正方形（如图3），可得AE=2.

图3

当点C在x轴上方时，CE=2，可得C（3，2），则直线AC的表达式为y=x-1.

当点C在x轴下方时，CE=2，可得C（3，-2），则直线AC的表达式为y=-x+1.

（2）解法1：由点M、N的“相关矩形”为正方形，可得直线MN的表达式为y=x+b或y=-x+b.

①当直线MN的表达式为y=x+b时，可得m=3-b.

图4

图5

由图可知（如图4）当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时直线MN记为M1N1，其中N1为切点T1为直线M1N1与y轴的交点.

由△ON1T1为等腰直角三角形（如图5）ON1=，得OT1=2.

则b的最小值为-2.

故m的最大值为5.

当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，此时直线MN记为M2N2，其中N2为切点，T2为直线M2N2与y轴的交点.

同理可得：b的最大值为2，m的最小值为1.

故m的取值范围为1≤m≤5.

②当直线MN的表达式为y=-x+b时，同理可得：m的取值范围为-5≤m≤-1.

综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法2：根据题意，满足条件的M、N两点一定都在同一直线y=x+b或y=-x+b上.

当m＞0时，切点N1、N2在直线y=-x上，则N1（1，-1）、N2（-1，1）.代入y=x+b中，得直线y=x+2或y=x-2.将M（m，3）代入，得m=1或m=5，则1≤m≤5.

当m＜0时，同理得-5≤m≤-1.

则m的取值范围为：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法3：设N（x，y）.

由“相关矩形”为正方形，得|x-m|=|y-3|=3-y.

由x-m=3-y，得m=x+y-3.

由点N（x，y）满足：x2+y2=2，得（x+y）2=x2+y2+2xy=2+ 2xy≤2+（x2+y2）=4.

则-2≤x+y≤2，即-5≤x+y-3≤-1.则-5≤m≤-1.

由x-m=-（3-y），得m=x-y+3.

同理得：1≤m≤5.

则m的取值范围为：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法4：设N（x，y）.

由点M、N的“相关矩形”为正方形，得|x-m|=|y-3|.

由y＜3，得|x-m|=3-y.

消去x得2y2-2（m+3）y+（m+3）2-2=0.

则△=［2（m+3）］2-8［（m+3）2-2］≥0.

即（m+3）2≤4，解得-5≤m≤-1.

当|x-m|=m-x时，同理，得1≤m≤5.

则m的取值范围为：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

一种典型错解：设N（x，y）.

由“相关矩形”为正方形，得|x-m|=|y-3|=3-y.

点评：解法1和解法2是在结合图形情况下，通过几何直观得出：要使“点M、N的相关矩形是正方形”，则直线MN与x轴的夹角为45°，即直线MN是由直线y=±x平移得到的，这样通过分类讨论的方法可得出m的取值范围.

解法3和解法4是根据条件“点M、N的相关矩形是正方形”得出：邻边相等，即|x-m|=|y-3|这一结论的情况下，再根据点N在圆x2+y2=2上这一特征，通过分类讨论及不等式性质或方程组的有解性推理而得出m的取值范围，这需要学生有很好的数学基础才能做到.

错解也是一种典型的做法，是介于上面两类做法之间但又忽视x与y之间的相关性的做法.

二、由试题看解题策略

纵观自2012年以来北京中考数学的“新定义”试题，其设计题目及解决问题的基本模式不变，即：

第一步，结合图形通过解答来初步认识“新定义”中的数学问题；

第二步，通过进一步解答特殊的数学问题来形成初步方法或结论；

第三步，利用第二步形成的方法或结论，应用其解决相关的数学问题.

这类试题是以几何图形为背景蕴含的数量关系来考查学生如何运用所学知识解决数学问题的.既然是解决“数学问题”，笔者认为，要使得学生能够顺利地达到解决这类试题的能力，关键在于教学中如何养成借助于“几何直观”形成结论，然后应用结论达到解决问题的能力，即“直观中有逻辑，逻辑中有直观”的解题理念和方法，在图形问题中要有“数量意识”和数量问题中要有“图形意识”，通过几何直观形成“数形结合”能力.

《课程标准（2011年版）》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”.图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于理解和记忆得到的结果.即图形把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单.

初中阶段的数学在设计和解决这类“新定义”试题时，要从几何直观出发，对问题的设计关注它的梯度——层层诱导，先通过特殊点结合图形认识数学问题；然后进一步来解决特殊化的数学问题，这一步骤是问题解决的核心部分，其主要是借助于几何图形直接产生结论或方法的，不需要严格的推理论证；最后利用上述形成的结论或方法来解决后面的数学问题，这就是“直观中有逻辑，逻辑中有直观” 的解题策略.几何直观与“逻辑推理”也是密不可分的，几何直观通常是靠逻辑支撑的，它不仅仅是看到了什么，而且是通过看到的图形思考到了什么，想象到了什么，这是数学非常重要有价值的思维方式.利用几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础.

总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此，学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力.这种几何直观能力使我们更好地感知数学、领悟数学，数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观.

参考文献：

1.义务教育数学课程标准（2011年版）解读.

2.毛玉忠.学会从“数”与“形”两个角度认识数学——从北京中考数学压轴题看初中数学课堂能力的培养［J］.中学数学（下），2013（12）.