陈雪莲，李建赛，唐晓明，李盛清，苏远大



套管井中泄漏弯曲型Lamb波声场的模拟与分析

陈雪莲，李建赛，唐晓明，李盛清，苏远大

(中国石油大学(华东)地球科学与技术学院，山东青岛266555)

基于套管中传播的最低阶泄漏弯曲型Lamb波(以下简称弯曲型Lamb波)对套管后介质尤其是低阻抗慢速水泥声学参数的敏感性，通过建立多层介质模型并利用实轴积分方法，数值模拟了有限尺寸定向辐射探头激发的声场和定点接收的全波波列。结果表明，在声源辐射到套管内壁上的入射角度约为33°时，在套管中主要激发弯曲型Lamb波。声场快照显示弯曲型Lamb波在沿着套管传播时，还会向与套管耦合的泥浆或水泥中泄漏比它速度低的波。若套管后介质是纵横波速度均低于弯曲型Lamb波相速度的慢速水泥，则套管中弯曲型Lamb波的衰减较大。利用弯曲型Lamb波对套管后耦合不同参数介质时的敏感性，可以有效地区分声阻抗接近的固体和液体，提高低阻抗水泥固井质量评价的效果。

泄漏弯曲型Lamb波；定向辐射；慢速水泥；声场快照

0 引言

在油气井开发中，水泥被注入到套管和地层之间的环空区域，以达到固定套管、保护套管不受地层流体腐蚀以及实现层与层之间良好封隔的目的。随着科学技术的不断发展和油气勘探开发新的需要，低阻抗水泥在固井中的应用越来越广泛。但是现有的水泥声阻抗类测井(例如声幅测井、变密度测井和扇区水泥胶结测井等)难以正确评价低阻抗水泥胶结真实情况和固井质量。Smaine Zeroug[1]将声阻抗测量和弯曲型Lamb波衰减测量相结合，改善了低阻抗水泥的评价效果。大量的研究表明，弯曲型Lamb波对多层介质中声学参数较敏感，是探测介质弹性参数和缺陷的有效手段。最重要的是其解决了声阻抗测井无法区分密度接近的固体和液体这一难题，一次下井就可以进行全面的水泥环封隔评价。

为了深入了解弯曲型Lamb波的传播特征，国内外相关专家学者已经做了大量的研究[2-7]。Smaine Zeroug提出了用准高斯束理论模拟有限尺寸定向辐射探头激发的脉冲与层状弹性介质相互作用的模型，为超声泄漏弯曲型Lamb波成像技术的应用奠定了基础[2]。Benoit Froelich对弯曲型Lamb波的频散和衰减特征展开了大量的研究，给出了其衰减随套管后介质声阻抗的变化规律[3]。丁燕采用二维有限差分方法建立了超声脉冲斜入射于套管内壁界面时波传播的数值计算模型，针对套管后不同声阻抗水泥及不同胶结状况等因素计算得到了超声波响应波形[4]。许飞龙分析了有限声束的系统函数频谱响应与水泥环厚度以及两个界面窜槽厚度之间的关系[5]。Xiao He等采用有限差分模拟了套管后不同胶结状况下的波场快照，并探究了弯曲型Lamb波的衰减与第I界面(套管和水泥环接触面)和第II界面(水泥环和地层接触面)胶结差时流体环厚度的关系[6]。Li Sheng-Qing等数值模拟分析了弯曲型Lamb波幅度在不同入射角、探头距离套管壁的距离、套管厚度和套管外耦合介质下的变化规律，并进行了实验验证[7]。

本文采用有限宽脉冲理论数值模拟了时间和空间上都有限宽的脉冲作用于层状介质后激发的声场，与现有的准高斯束理论模拟结果[2-3]一致，但是不需要引入复源点和复射线理论，更易于理解和实现。

1 基本理论

1.1 多层介质中反射系数的求解

在足够高的频率下(80 kHz或更高)，超声脉冲作用于套管很小的区域，柱状径向分层的套管模型可近似为二维的多层介质模型(如图1所示)。二维模型的方向代表无限延伸的套管方向(轴向)，方向代表套管、水泥等不同介质的厚度方向(径向)，用半流体空间表示实际套管内的泥浆(本文中用水代替)，套管外侧的水泥环I或II界面胶结差用流体环(水层)模拟。

多层介质模型中固体层的纵波和横波势函数分别设为

各层介质中的波函数在介质分界面处应该满足界面边界条件，固-固界面边界条件为正位移、切向位移、正应力和切向应力连续，液固界面为正位移和正应力连续，切向应力为零。为了书写简洁，先把每一层中边界条件所涉及的物理量排成一个列矢量，定义位移-应力向量为：

(3)

反复利用各层介质界面上的边界条件以及层内左右界面的传递关系式(3)，可将套管-流体界面的应力-位移向量与水泥环(或流体层)-地层界面的应力-位移向量相联系。

其中，矩阵是最左界面和最右界面所夹层的传播矩阵点乘。将式(4)变形可得到以下公式：

(5)

其中：为模型最左层和最右层未知的势函数振幅系数向量；与最左层(含有声源层)入射波有关。求解方程(5)即可得到多层介质的反射系数，由于井孔内泥浆中只有纵波传播，所以此处只给出了纵波反射系数，其为和的函数，表达式如式(6)所示。

1.2 有限尺寸定向辐射探头激发声场求解

实际测井仪器中用到的有限尺寸定向辐射探头激发的声脉冲在时间和空间上都是有限宽的。考虑入射脉冲，其在时间和空间一般分布的声场为[10]

(8)

式(7)是稳态的平面波的叠加，根据1.1节得到的反射系数，利用实轴积分法可计算得到叠加后的脉冲反射声场，即

2 数值计算结果及分析

数值计算中各介质的声学参数见表1。

表1 各介质的声学参数

2.1 有效激发弯曲型Lamb波的方法

在0~500 kHz的频率范围内套管中可存在5个模式波：0阶对称Lamb波(S0，拉伸型Lamb波)、0阶反对称Lamb波(A0，弯曲型Lamb波)、1阶对称Lamb波(S1)和反对称Lamb波(A1)、2阶对称Lamb波(S2)。Smaine Zeroug等人指出了通过控制声束入射角的方式来有效激发不同模式波的方法[1]。图2是理论计算的不同角度入射时在浸水钢板中可激发的模式波的频散曲线，由图2可知，在250 kHz左右，由于弯曲型Lamb波的相速度(2740 m/s)较钢板的横波速度小，其他模式波的相速度均较大，在入射角度大于钢板横波临界角(25.37°)时，在钢板中只激发弯曲型Lamb波，在确定了声源的中心频率250 kHz后，由公式(10)可知所需的入射角约为33°。

2.2 时域响应波形的数值模拟

为了激发和利用弯曲型Lamb波来检测套管后介质属性和固井质量，采用有限尺寸定向辐射超声探头，以2.1节计算的入射角辐射声脉冲，可在套管中激发出弯曲型Lamb波，再以相同的角度接收(见图3)，接收到的波形携带了套管后耦合介质的声学属性和胶结信息。声源脉冲的中心频率为250 kHz，式(8)中和分别取为120 kHz和40 m-1，其二维谱如图4所示，可较好地覆盖套管井中弯曲型Lamb波在频率域和波数域中的响应范围。

图3 波形脉冲的激发和接收示意图

图5为套管后耦合不同介质模型下的接收波形，可以看出在套管后耦合无限厚水层时(水-套管-水模型)，波列中只有弯曲型Lamb波(以下称为套管波)，无反射波；根据实际井孔情况，当水层后面存在地层时(水-套管-水-地层模型)，波列中不仅有套管波还有第II界面反射波和多次反射波，此时套管波幅度相对较大；当套管后环空区域为慢速水泥时(水-套管-慢速水泥-地层模型)，套管波的幅度相对于耦合水和快速水泥两种情况来说非常小，原因是此时套管波的相速度既大于水泥横波速度又大于水泥纵波速度，根据Snell定律，在传播的过程中其会向水泥中辐射纵波和横波两种波，导致衰减率较大，后续波列中既有PP、PS转换波，又有SP、SS转换波也可说明这一点；而当套管后耦合快速水泥时(水-套管-快速水泥-地层模型)，由于套管波的相速度只大于水泥横波速度而小于水泥纵波速度，所以它只会向水泥中辐射横波，因此衰减比较小，幅度较大，并且第II界面反射波只有SS转换波。根据套管波以及第II界面反射波的上述特点可以准确地判断套后耦合介质类型。

图6是对图5中的水-套管-水模型下接收的阵列波形在频率域做相关处理得到的频率-速度相关曲线[11](图中的离散点)和理论计算的频散曲线(实线)的对比图，两者吻合很好，验证了本文计算方法的可靠性。

图6 波列提取频散曲线和理论计算结果对比

2.3 声场快照的数值模拟

为了更深入地探究套管波以及反射波的传播特性，图7给出了套管后耦合不同介质时在50 μs、100 μs和140 μs三个不同时刻的声场快照。图中T和R分别代表发射传感器和接收传感器，方向为井轴方向，方向为径向。从图7可以看出，有限尺寸定向辐射探头激发的套管波沿着套管往前传播，传播的过程中不断地向套管内侧和外侧以近似平面波的形式辐射能量，但在套管耦合不同介质时辐射的波型有所差别。7(a)为套管后耦合水时的快照图，此时套管波向套后水中辐射纵波，纵波在传播到第II界面后发生反射，反射波透过套管后再次传到井孔内并被接收器接收。观察传播时间为50 μs时的图像可发现，此时直达波正以特定的角度作用于套管内界面，而反射波的主要构成为镜面反射，来自套管波辐射的能量还比较小。套管后耦合慢速水泥时的快照为图7(b)，根据2.2节中的分析可知，此时套管波既向慢速水泥中辐射纵波又辐射横波，两种类型的波传播到第II界面后发生模式转换，产生PP、PS、SP、SS四种波(Time=100 μs时图像所示)，这四种波传到井孔内以不同的速度和幅度依次被接收器记录(图7(b)中Time=140 μs时图像所示，a代表PP反射波、b代表传播速度相同的PS和SP反射波的叠加、c代表SS反射波)。当套管后水泥纵波速度大于套管波相速度时，声场快照如7(c)所示，此时水泥中第II界面反射波只有SS波。

(a) 水-套管-水-地层模型

(b) 水-套管-慢速水泥-地层模型

3 结论

通过建立多层介质模型，数值模拟了有限尺寸定向辐射探头激发和接收的全波波形以及波在传播过程中的声场快照，得到了以下结论：

(1) 运用有限宽脉冲理论和实轴积分的方法可准确地模拟有限尺寸定向辐射探头激发的声场，其中声源在频率波数域的二维谱决定了激发的套管波类型。

(2) 有限尺寸定向辐射探头以33°入射时可以在套管中激发出对套管后介质声学参数较敏感的最低阶泄漏弯曲型Lamb波，对水-套管-水模型下接收的阵列波形在频率域做相关处理得到频率-速度相关曲线，其与解析方法得到的频散曲线在计算频段吻合很好，验证了本文计算方法的正确性。

(3) 运用本文方法数值模拟了套管后耦合不同介质情况下的声场快照。快照显示：在套管后耦合慢速水泥时，套管中的弯曲型Lamb波会向水泥中辐射纵波和横波两种波；而耦合水(或快速水泥)时，其只会向套后辐射纵波(或水泥横波)一种波。因此在套管后耦合慢速水泥时，弯曲型Lamb波的衰减比套后耦合水时大很多。本文为研究定向声源辐射声场和套管波的传播特征提供了一种快速、简洁的途径。

[1] Smaine Z, Benoit F. Ultrasonic leaky-lamb wave imaging through a highly contrasting layer[C]// IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings, Homolulu, U.S.A, IEEE Inc, 2003. 794-798.

[2] Smaine Z. Forward modelling for leaky-lamb wave imaging through a highly contrasting steel cylindrical layer[C] // IEEE Ultrasonics Symposium-Proceedings, IEEE Inc, 2004, 672-675.

[3] Froelich, Benoit. Multimode evaluation of cement behind steel pipe[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2008, 123(5): 3648-3648.

[4] 丁燕. 固井水泥环声阻抗周向分布的超声波评价方法研究[D]. 北京: 中国石油大学(北京), 2011.

DING Yan. The research of appraisal for the circumferential distribution of cementing acoustic impedance using ultrasonic[D]. Beijing: China University of Petroleum, Beijing, 2011.

[5] 许飞龙. 有限声束超声波在分层介质上的反射[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2013.

XU Feilong. The reflection of ultrasonic beam on layered media[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2013.

[6] XIAO H, HAO C, Xiuming W. Ultrasonic leaky flexural waves in multilayered media: Cement bond detection for cased wellbores[J]. Society of Exploration Geophysicists, 2014, 79(2): 7-11.

[7] LI S Q, CHEN X L, TANG X M. Directed radiation of an ultrasonic transducer for casing-cement evaluation: modeling and experiment[C]// 21st International Congress on Sound and Vibration, Beijing, China. 2014.

[8] LOWE M J S. Matrix techniques for modelling ultrasonic waves in multilayered media[C]. IEEETrans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Contr, 1995, 525-542.

[9] J. L. 罗斯. 固体中的超声波[M]. 何存福等译. 北京: 科学出版社, 2004: 143-150.

[10] JOSEPH L Rose. Ultrasonic waves in solid media[M]. Translated by He C F. Beijing : Science Press, 2004: 143-150.

[11] 张海澜. 理论声学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 219-220.

ZHANG Hailan. Theoretical Acoustics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2007: 219-220.

[12] 唐晓明, 郑传汉. 定量测井声学[M]. 赵晓敏译. 北京: 石油工业出版社, 2004: 20-31.

TANG Xiaoming, ZHENG Chuanhan. Quantitative borehole acoustic methods[M]. Translated by ZHAO Xiaomin, Beijing: Petroleum Industry Press, 2004: 20-31.

Simulation and analysis of leaky flexural-Lamb wavefield in a cased wellbore

CHEN Xue-lian, LI Jian-sai, TANG Xiao-ming, LI Sheng-qing, SU Yuan-da

(School of Geosciences & Technology, China University of Petroleum, Qingdao 266555, Shandong, China)

The lowest order antisymmetric mode of leaky Lamb waves (hereinafter referred to as Lamb flexural mode) has been used for cement evaluation because it is sensitive to the acoustic parameters of media behind the casing (especially the low-impedance and slow cement). With the real-axis numerical integration method and a multi-layered media model, this paper simulates the full waveforms launched and received by directional transmitting and receiving transducers of finite sizes as well as the leaky flexural-Lambwave field in a cased wellbore. The results suggest that the Lamb flexural mode is mainly excited in casing, when the angle of incidence approximately equals 33 degree. Simulated time snapshots present that the Lamb flexural mode propagates inside the steel casing while leaking bulk waves, whose velocities are lower than the flexural mode’s velocity, in the upper water layer and inside the water or cement annulus below the casing. For the slow cement, whose compressional velocity and shear velocity are both lower than that of flexural mode, existing behind the casing, the attenuation is significantly large. By taking advantage of the characteristics of Lamb flexural mode mentioned above, it would be much easy and effective to distinguish solid and fluid with similar impedance, and the effect of evaluating cementation quality of the low-impedance cement could be improved.

leakyflexural-Lamb waves; directional radiation; slow cement; time snapshots of field

P631.51&P631.81

A

1000-3630(2016)-01-0038-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.01.009

2015-03-10;

2015-06-30

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(14CX05010A)。

陈雪莲(1976－), 女, 河北衡水人, 副教授, 研究方向为声波测井方法。

李建赛, E-mail: lijiansai@163.com