高　扬， 赵　微

( 大庆师范学院 教师教育学院，黑龙江 大庆　163712 )



一类分数阶非线性系统的输入输出到状态稳定性分析

高扬， 赵微

( 大庆师范学院 教师教育学院，黑龙江 大庆163712 )

基于Mittag-Leffler型稳定和整数阶非线性系统的输入到状态稳定理论，在Caputo分数阶导数意义下，对于导数阶数在0到1开区间的分数阶非线性系统，给出全新的输入输出到状态稳定定义，进而建立非线性系统实现输入输出到状态稳定的Lyapunov定理。举例证明该理论的正确性和实用性。

Caputo型导数； 分数阶导数； 输入输出到状态稳定； Mittag-Leffler型稳定

0　引言

分数阶微积分概念起源于1695年Leibniz给Hopital的信件中所提到的1/2阶导数问题。1832年，Liouville给出分数阶第一个合理定义。1847年，Riemann对分数阶定义做了补充。Grunwald和Krug统一Liouville和Riamann分数阶微积分定义，形成Riemann-Liouville型分数阶微积分定义。人们提出多种定义，如Grunwald型分数阶微积分和Caputo分数阶微积分。

对分数阶微分方程稳定性的研究也是分数阶微分方程的重要部分。分数阶微分方程的稳定性可分为分数阶线性方程的稳定性和非线性方程的稳定性2个方面。分数阶在0到1和1到2之间的分数阶线性微分方程的稳定性理论已完善[1-4]。在分数阶非线性方程稳定性方面还有待完善。Li Y等[5-6]利用Lyapunov函数给出非线性分数阶方程的稳定性判据，其中包括非线性Caputo导数意义下微分方程稳定性的判据和Riemann-Liouville导数下微分方程稳定性的判据。2014年，Aguila-Camacho N等[7]利用一个不等式，探讨一种Lyapunov函数构造问题，但只针对Caputo导数。

通过Laplace变换，利用终值定理，求出方程稳定条件的做法很成熟。……